因果邏輯推理測驗

讓我們先從基本的機率開始：先假設事件A代表世界上任選一個女人的相對頻率，所謂相對頻率，就是從一個隨機人群樣本中挑選一個女人的機率。假設世界上有一 半的人是女人，那事件A所代表的相對頻率或機率就是 1/2，讓我們用P(A) = 1/2表示。事件B則代表在世界上任選一位工程師的相對頻率，現在我們假設世界上十個人中就有一人是工程師，那P(B)就是1/10。

ｏｋ，若兩個事件A,B獨立於對方，這代表A發生了以後並不會提升或降低B的發生機率，反之亦然。舉例說明，如果一個人的性別與 職業是兩個獨立事件，那若十人中有一個人是工程師，那十個女人中也必定有一人是工程師，換句話說，選擇性別後並不會影響挑選一位工程師的機率，反之亦然。 但若經過測量我們發現了從一個女性樣本中挑選一位工程師（以P(B|A)表示，也就是A發生後B的機率，這種篩選樣本的行為我們稱為觀察）較原本樣本的工程師機率還低，如P(B|A) = 0.08，於是P(B|A) < P(B)，這代表性別與職業並不獨立於對方，也就是兩者存有關聯性。總而言之，若事件A與B獨立於對方，則兩者之間不存有關聯性，A發生後並不會提高或降低B的機率，反之亦然，於是P(A|B) = P(A) 與 P(B|A) = P(B)。反觀若事件B與A存有關聯性，則P(A|B)不等於P(A)，且P(B|A)不等於P(B)。

P(B|A) < P(B)，從此我們得到的結論是女人中工程師比例比平常工程師的比例還要低，這代表什麼？是工程師的生活嚇走了女性，還是男性特別喜歡選擇工程？

答案是：都不是，兩事件中光有關聯性並不代表事件A是事件B的起因，或事件B是事件A的起因。

我們只知道這兩個事件中有某種因果關係，代我們並不知道兩者之間還有多少其他事件存在，或因果關係的方向。在這教學中我們只考慮最簡單的兩種情況: A → B　（A是B的起因，A造成B）
A ← B　（B是A的起因，B造成A）

光有P(B|A)與P(B)我們，我們只能知道關聯性，卻不能確定因果關係。

既然如此，我們應該如何了解因果關係呢？

現在讓我們透過另一個例子來學習：假設蝨子與搔癢存有關聯性，但我們並不知道到底是蝨子引人搔癢，還是人搔癢引起蝨子。如果搔癢引起蝨子，那若我們叫一個人搔癢，這個人身上應該會出現蝨子。叫人搔癢，這種改變樣本的行為就稱為介入，而其產生的事件就是介入事件。 若事件A是事件B的起因（A → B），那若我們透過介入來使A發生，那其必會使B也發生；但若B是A的起因（A ← B）或B與A沒有關聯性，那若我們介入使A發生，這並不會影響B。回到我們剛剛舉的例子，使一個人搔癢並不會使該人生蝨子，這代表搔癢並不是蝨子的起因。 若我們介入來改變事件A再測量B，該機率我們以P(B|do(A))表示。

當我們透過介入來改變某個事件，我們會切斷該事件與其所有起因之間的因果關係。舉例說明：若骯髒的居住環境會使人長蝨子，而當我們現在介入，在某個實驗對象身上放了蝨子之後，該實驗對象的居住環境就與身上的蝨子無關了。

介入與觀察是不同的：觀察僅僅是從已採取的資料中篩選符合特定條件的資料；介入則是利用改變某些事件來創造新的樣本。再次以 先前的蝨子與搔癢為例，我們的直覺告訴我們人是因為生了蝨子才會搔癢，因此，當我們觀察到人搔癢，該人身上有長蝨子的機率也相對提高了；但若我們利用介入 來使某個人搔癢，這個人卻不會無緣無故生出蝨子。現在若我們在人身上觀察到蝨子，這個人會因此搔癢；若我們以介入，將蝨子放在一個本來沒有蝨子的人身上， 該人必會因為加在他身上的蝨子而開始搔癢。

總而言之，若事件A與事件B存有某種關聯性，那如果B造成A，那觀察A產生的P(B|A)與介入改變A而產生的P(B|do(A))是不相等的。反觀若A造成B，那觀察A產生的P(B|A) 便等於介入改變A而產生的P(B|do(A))。

所以呢？

當我們了解不同的機率與統計資料代表的意義，我們便可以用此來區別關聯性與因果關係，以進一步了解科學結論的合理性。

現在讓我們複習一下方才提及的因果與機率觀念：在第一個範例中我們知道性別與職業是有關聯性的。如果性別是職業的起因，改變一個人的性別會直接改變 其職業，且觀察一個女性樣本的工程師機率會等於一個被介入改變性別(...這只是假想...別想太多)而產生的樣本中的工程師機率；但若職業是性別的起 因，改變一個人的職業會直接影響性別，且觀察一個女性樣本的工程師機率會不同於一個被介入改變性別而產生的樣本中的工程師機率。我們的直覺告訴我們不論性 別造就職業還是職業造就性別都不合理，因此兩者之間的因果關係比我們目前所了解的基礎因果邏輯還要複雜許多，但這已超出了本教學的討論範圍，以後有機會我 們再一起鑽研。

設你這個週末邀你的好友去看場電院，但你朋友因為怕被狗咬而不敢出門。為了說服你朋友赴約，愁眉苦臉的你來到了一位讀統計學的同學甲這邊求助。同學 甲問你，"一個人一天內被一隻狗咬的機率很小，對不對？"，你點了點頭。於是同學甲又問你，"一個人再一天內被兩隻狗咬的機率就更小了，對不對？"，你又 點了點頭。同學A很高興地說道，"那你去找一隻吉娃娃來啃一啃你朋友的褲管，這樣他再被另一隻狗咬的機率不就大幅降低了嗎？這樣一來他就會赴約了！

你聽完了同學A的建議後是滿腹狐疑，於是你打算進一步分析他這怪誕的建議。

測驗報告的分數為 85，測驗的總分為300。

以下是系統對於你在各部分所做出的分析結果：

你在因果邏輯部分的表現不是很理想

你在數理邏輯部分的表現...砍掉重練吧

你在邏輯分析部分的表現...砍掉重練吧

你在邏輯學習部分的表現是幾乎沒進步...

可以考慮加強的地方：