關於自然指數e的小問題

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cloud7812061

一般的居民

電梯直達

1^#

發表於 09-12-16 01:14:38 |只看該作者 |降序瀏覽大字中字小字正體化简体化

大一微積分學到這個超越數，想知道e的所謂的歷史來源，只不過查不太到來源(是為了什麼運算發明?抑或是結題時的偶然定義)

又 e=limit (x→∞) [ 1+(x^-1) ]^x 是其定義? 或則是近似值求法而已?

另外在X趨近於0時看起來與上式同樣會有特別的發展，會有什麼結果? (1+∞)^(1/∞)

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xvmon123

名望的居民

2^#

發表於 10-1-3 01:13:20 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

根據久遠前的記憶
沒記錯的話是因為我們定義了int(1/n) = ln(n)
而e就是讓ln(e)=1的數
所以就冒出了那個極限

[img]http://tinypic.com/a48n14.jpg[/img] 夏天到了...大家一起糟糕吧[color=black][color=white]!![/color](我的簽名檔會不會太激啊??)[/color]

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hayden2111

無名的鄉紳

3^#

發表於 10-1-10 01:51:21 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

e的來源要講到ln...自然函數
x,積分>1,積分>0
x^(-1),積分>-x^(-2)....微分反之

那麼x^(-1)的積分是什麼?
什麼微分會變成1/x?

就被定義為ln(x)
很輕鬆吧!

再來
由上面我們可以知道1/x的積分式會成為ln(x)
所以...ln(b)-ln(a)可以視為1/x函數在坐標平面上x=a到x=b的面積

那麼...從x=0開始到什麼地方面積會剛好是1呢?
這個數字被定義為e
ln(e)=1
e^[ln(a)]=a的推法我就忘了...sorry

至於樓主講到那個式子
我們微積分課本在這個章節並沒有教到這個東西...(他對於exp.並沒有很深刻介紹...我們也是聽普物老師的)
後面會有方法可以將其算出
結果就是剛好為e
我個人是當成一個算式而已
不是看成定義

個人淺見請多包涵

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蓮花蝶

名望的居民

4^#

發表於 10-6-14 21:28:55 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

什麼微分會變成1/x?
就被定義為ln(x)

至少我認為這個定義是不妥的
反而是e=lim(x→∞) [ 1+(1/x) ]^x作為定義比較合適
因為從數學發展史上，先有的極限才有的微積分
用微積分定義極限的東西就把因果關係倒過來了

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