如何證明:質數都是 6 的倍數加減 1

ksjeng

但逆命題不存在 91=6*15+1 ,91不為質數
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如何證明:質數都是 6 的倍數加減 1
1 = 6 * 0 + 1
2
3
5 = 6 * 1 - 1
7 = 6 * 1 + 1
11 = 6 * 2 - 1
13 = 6 * 2 + 1
17 = 6 * 3 - 1
19 = 6 * 3 + 1
23 = 6 * 4 - 1
29 = 6 * 5 - 1
31 = 6 * 5 + 1
37 = 6 * 6 + 1
41 = 6 * 7 - 1
43 = 6 * 7 + 1
47 = 6 * 8 - 1
53 = 6 * 9 - 1
59 = 6 * 10 - 1
61 = 6 * 10 + 1
67 = 6 * 11 + 1
71 = 6 * 12 - 1
73 = 6 * 12 + 1
79 = 6 * 13 + 1
83 = 6 * 14 - 1
89 = 6 * 15 - 1
97 = 6 * 16 + 1

turnX

主要的想法大概是這樣
把Z+分成  6a,6a+1,6a+2,6a+3,6a+4,6a+5
其中2的倍數為6a,6a+2,6a+4
3的倍數為6a,6a+3
剩下6a+1,6a+5 (6a-1)
所以變成6a+1,6a-1是有可能為質數

ksjeng

謝謝你喔
但有網友寫道:
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6n+-2 是偶數
6n+-3 是3的倍數
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正整數被六除的餘數只有 0,1,2,3,4,5 六種中的一種，
也就是任何正整數只能寫成 6k, 6k+1, 6k+2, 6k+3, 6k+4, 6k+5 中的一個(其中 k 為非負整數)，
因為 6k = 2×3×k,　6k+2 = 2×(3k+1),　6k+3 = 3×(2k+1),　6k+4 = 2×(3k+2)
上列四種情形顯而易見都是 2 或 3 的倍數，
所以比 3 大的質數如果被 6 除之後，必不可能同餘到 0,2,3,4（不然就會有 2 或 3 的因數，就是合數，而不是質數） ，
也就是說，比 3 大的質數被 6 除之後，只可能同餘 1 或 5 (note: 5≡－1 mod 6)，
所以比 3 大的質數只有可能寫成 6k+1 或 6k+5 .（註：6k+5 = 6(k+1)－1，就是 6 的倍數再減 1.）
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