挑戰123

M.N.M.

國中
1.某冊書籍頁碼編號自1~n 共n 個連續整數，阿仁及阿強同時分別自1 加到n，今只知道他們倆人其中一人在加的過程中重複多加一數a，另一人卻漏加一數b，結果得數分別為20138及20051，試問a、b 分別是多少？

2.已知a、b、c為實數，且ab / (a+b) =1/3 ，bc / (b+c )=1/4 ，ac/(a+c) =1/5，求證:abc / (ab+bc+ca)=1/6

3.試已分數表示循環小數0.2567567567567567....

高中
1.在區間[0，pi]中，求三角方程式cos7x=cos5x的解

2.求一切這樣的三位數abc，它的平方數最末三位數也是abc

3.若m，n皆為正整數，證:(n^3)+(m^2)能被n+m整除的n的最大值為(m^3)-(m^2)-m

turnX

國中
1.某冊書籍頁碼編號自1~n 共n 個連續整數，阿仁及阿強同時分別自1 加到n
，今只知道他們倆人其中一人在加的過程中重複多加一數a，另一人卻漏加一
數b，結果得數分別為20138及20051，試問a、b 分別是多少？

20051<n*(n+1)/2<20138
40102<n^2+n<40276
得唯一解n=200
(200^2+200)/2=20100
則知 a=38 , b=49


3.試已分數表示循環小數0.2567567567567567.

令x=0.2(567)
1000x=256.7(567)
999x=256.5
x=2565/9990=19/74


2.已知a、b、c為實數，且ab / (a+b) =1/3 ，bc / (b+c )=1/4 ，ac/(a+c)
=1/5，求證:abc / (ab+bc+ca)=1/6

a=b/(3b-1)
c=b/(4b-1)

將a,c代入 ac/(a+c) =1/5
得b=1
再求得a=1/2,c=1/3
abc=1/6
ab+bc+ac=1
所以abc / (ab+bc+ca)=1/6 得證

[ 本文章最後由 turnX 於 08-6-15 18:09 編輯 ]

aeoexe

1.在區間[0，pi]中，求三角方程式cos7x=cos5x的解
cos7x=cos5x
cos7x-cos5x=0
-2sin6xsinx=0
sin6x=0 or sinx=0
6x=n*pi or x=n*pi
x=n*pi/6 or x=n*pi
因為x在0到pi之間,所以n=0-6, x=0,pi/6,pi/3,pi/2,2*pi/3,5*pi/6,pi
3.試已分數表示循環小數0.2567567567567567....
0.2567567..=0.2+0.0567567...
                     =2/10+567/9990
                     =(1998+567)/9990
                     =19/74

[ 本文章最後由 aeoexe 於 08-6-15 18:39 編輯 ]

turnX

2.求一切這樣的三位數abc，它的平方數最末三位數也是abc
我們可以設此三位數為 100a+10b+c

(100a+10b+c)*(100a+10b+c)=10000a^2+2000ab+100(b^2+2ac)+20bc+c^2

只要比對 100a+10b+c=100(b^2+2ac)+20bc+c^2

要讓末位相等c的可能值為0,1,5,6
當c=0時
100a+10b=100(b^2)
顯然不合

當c=1時
100a+10b+1=100(b^2+2ac)+20b+1
10b=20b =>b=0
100a=100(2a)
a=0顯然不合

當c=5時
100a+10b+5=100(b^2+2ac+b)+25
10b=20
b=2
100a=100(4+10a+2)
100a=1000a+600
100a=600
a=6
得一數 625

當c=6 時
100a+10b+6=100(b^2+2ac+b)+20b+36
10b=20b+30
得b=7

100a=100(49+12a+8)
100a=700+200a
得a=3
得一數 376

Ans:376 , 625

skywalkerJ.L.

國中
2.已知a、b、c為實數，且ab / (a+b) =1/3 ，bc / (b+c )=1/4 ，ac/(a+c) =1/5，求證:abc / (ab+bc+ca)=1/6

ab / (a+b) =1/3
=>(a+b)/ab=1/a+1/b=3
同理可得
1/b+1/c=4
1/c+1/a=5
從而
a=1/2,b=1,c=1/3
故abc / (ab+bc+ca)
=(1/6)/(1/2+1/3+1/6)=(1/6)/1=1/6

turnX

3.若m，n皆為正整數，證:(n^3)+(m^2)能被n+m整除的n的最大值為(m^3)-

(m^2)-m

n+m | n+m
n+m | n^3+m^2

=>n+m | m^2-mn^2
=>n+m | m^2+nm^2
=>n+m | m^2-m^3

因為m為正整數
所以m^2-m^3為負數
它的最大正因數為m^3-m^2
故n+m最大為m^3-m^2
n的最大值為m^3-m^2-m

傲月光希

原帖由 turnX 於 08-6-29 05:55 發表
3.若m，n皆為正整數，證:(n^3)+(m^2)能被n+m整除的n的最大值為(m^3)-

(m^2)-m

n+m | n+m
n+m | n^3+m^2

=>n+m | m^2-mn^2
=>n+m | m^2+nm^2
=>n+m | m^2-m^3

因為m為正整數
所以m^2-m^3為負數
它的最大正因數為m^3-m ...

這邊你只說(m^3)-(m^2)-m是n的一個可能值，你並沒說明(m^3)-(m^2)-m是"最大"值

你要補的就是像小M說的，假設有存在正整數a使得(m^3)-(m^2)-m+a為更大值，產生矛盾

M.N.M.

解答

高中三

如附件

[ 本文章最後由 M.N.M. 於 08-6-29 13:39 編輯 ]

夢想之月

高中弟3題是不是少給一個條件m>1?

m=1時n可以想要多大就有多大耶!

M.N.M.

原帖由 夢想之月 於 08-7-1 19:50 發表
高中弟3題是不是少給一個條件m>1?

m=1時n可以想要多大就有多大耶!

m=1時

n=1-1-1=-1與n為正整數不合

所以m不能等於1

在下忽略了m=1的情況(囧