一個問題...

殘月 闇

某校錄取1000名新生,依序編號;一號新生將1000個櫃子打開,二號新生則將2的倍數作相反動作;三號新生則將3的倍數作相反
   動作.........;依此類推,則1000個櫃子有幾個是打開的???
   這是利用了同餘的概念,但我不懂其規律,想請教之~

M.N.M.

不一定一開始就用同餘思考

可以先簡化問題找規律

若改成5人

O:開  F:關

1  2  3  4  5
O O O O O

1  2  3  4  5
O F O F O

1  2  3  4  5
O F F F O

1  2  3  4  5
O F F O F

會發現其實只有完全平方數會開著，所以有1^2，2^2，...，31^2是開著

若還是看不出來可改成其他數據再試試

albert1liu1

到最後櫃子被打開，表示做了奇數次動作，所以被關閉的櫃子的號碼的因數個數為奇數個。又因因數個數算法為(質因數分解後的指數1+1)(質因數分解後的指數2+1)(質因數分解後的指數3+1)......，且偶乘奇=偶，故質因數分解後的指數1+1、質因數分解後的指數2+1......皆為奇數，即質因數分解後的指數1、質因數分解後的指數2......皆為偶數。既然指數都為偶數，表示可開平方根→這些數是完全平方數!!代表只有完全平方數才會被打開。