國際競賽題2

~冠~

1.難度:☆☆☆ (不等式)
設a,b,c為一個三角形的三邊長,試證明:
sqrt(a+b-c)+sqrt(b+c-a)+sqrt(c+a-b)<=sqrt(a)+sqrt(b)+sqrt(c)
並問等號何時成立?

2.難度:☆☆☆ (組合數學)
10人到書店去買書,已知:
(1)每個人都買了三種書
(2)任何兩人買的書中,都至少有一種相同.
問購買人數最多的一種書最少有幾人購買? 並證明.

3.難度:☆☆☆ (幾何)
銳角三角形ABC中,角BAC=60度,且AB>AC. 設I為其內心,H為其垂心.
試證: 2角AHI=3角ABC.

M.N.M.

1.設x^2=a+b-c，y^2=b+c-a，z^2=c+a-b

根據柯西不等式

2(x^2+y^2)=4b≥(x+y)^2
=>2*sqrt(b) ≥x+y......(1)

2(y^2+z^2)=4c≥(y+z)^2
=>2*sqrt(c) ≥y+z......(2)

2(z^2+x^2)=4a≥(z+x)^2
=>2sqrt(a) ≥z+x......(3)

(1)+(2)+(3)
=>2sqrt(a)+2*sqrt(b)+2*sqrt(c)≥2(x+y+z)

=>sqrt(a+b-c)+sqrt(b+c-a)+sqrt(c+a-b)<=sqrt(a)+sqrt(b)+sqrt(c)

等號成立條件為a+b-c=b+c-a=c+a-b=>a=b=c

[ 本文最後由 M.N.M. 於 07-8-11 12:40 AM 編輯 ]