有關必要、充分條件的題目怎麼算......

逸森

1.(不知式子間充分、必要條件的關係要怎麼看)
如果題目列出兩式子，要我們比較誰是誰的必要、充分、或必要條件，那些式子包含的條件要怎麼看？是要用未知數的數對，還是列出那個式子所包含的所有式子來判斷？@@
我舉三個題目：

1.  A.B屬於R(有理數)，|AB|小於等於1 是 |A||B|小於等於1 的___條件，可以列出怎麼看嗎？

2.  X.Y為正數，則 X>1 或 Y>1 是 XY>1 的___條件，可以列出怎麼看嗎？

[ 本文最後由 逸森 於 07-7-19 07:20 AM 編輯 ]

傲月光希

1.假設P=>Q，若P為真的情形下可以推導到Q的話，則P就是充分，Q就是必要，反之亦然

若兩邊都可以互推的話，則就互為充要條件

就像是若今天有個命題為P<=>Q，要去證明互為充要的話，通常都是拆成"P=>Q"跟"Q=>P"然後在一個個證明

通常要證推不過去的話都是用舉反例，因為所要討論的是存在性的問題，很多結論都是對所有的情況下

除非所要推導的結論是存在的問題，那就必須證明對所有的情況都要反駁那個結論

2.由於|AB|≦1跟|A||B|≦1是等價的，因此互為充要條件(|AB|=|A||B|)

另外，R是實數系，Q才是有理數系

3.今天把題目改成"X.Y為正數，則 X>1 或 Y>1 <=> XY>1"，然後去證明

"=>"很明顯的，這結論必定不對。考慮X=2>1跟Y=(1/2)<1，則XY=1不大於1

這樣舉反例的證法是因為原題目是說對「所有的」X跟Y是正數，X>1或Y>1，則都會滿足XY>1

所以我只要考慮存在性，也就是找出一組反例來反駁就好了，(X，Y)=(2，1/2)的確滿足原先的條件但是結論不成立

"<="這邊我們用反證法。什麼是反證法?也就是假設結論不成立，則會導致矛盾，所以結論必然成立

這邊結論是"對所有"，因此必須要用"存在"，"對所有"跟"存在"是對立

假設對存在一組ab>1滿足a≦1且b≦1('X>1或Y>1"的對立假設就是"X≦1且Y≦1"，用集合論觀點說，就是兩者為互斥事件)

則a*b≦1*1=1 →←(矛盾符號)，因此結論為真

由上述證明，我們得到"若XY>1，則X>1或Y>1"，也就是X>1 或 Y>1 是 XY>1 的 必要 條件