誰知道世界的10大難題(看看而已)

JTR

誰知道世界的10大難題

M.N.M.

世界難題有很多的，不會只有10個呢，在下也不知有多少= =a

P(多項式算法)問題對NP(非多項式算法)問題

霍奇(Hodge)猜想

黎曼(Riemann)假設

楊-米爾斯(Yang-Mills)存在性和質量缺口

納維葉-斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性與光滑性

貝赫(Birch)和斯維訥通-戴爾(Swinnerton-Dyer)猜想

三等分任意角

二倍立方體

化圓為方

費馬最後定理
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希爾伯特的23個問題

1． 連續統假設 1874年，康托猜測在可列集基數和實數基數之間沒有別的基數，這就是著名的連續統假設。1938年，哥德爾證明了連續統假設和世界公認的策梅洛--弗倫克爾集合論公理係統的無矛盾性。1963年，美國數學家科亨證明連續假設和策梅洛--倫克爾集合論公理是彼此獨立的。因此，連續統假設不能在策梅洛--弗倫克爾公理體係內證明其正確性與否。希爾伯特第1問題在這個意義上已獲解決。

2． 算術公理的相容性 歐幾裏得幾何的相容性可歸結爲算術公理的相容性。希爾伯特曾提出用形式主義計劃的證明論方法加以證明。1931年，哥德爾發表的不完備性定理否定了這種看法。1936年德國數學家根茨在使用超限歸納法的條件下證明了算術公理的相容性。

1988年出版的《中國大百科全書》數學卷指出，數學相容性問題尚未解決。

3． 兩個等底等高四面體的體積相等問題

問題的意思是，存在兩個等邊等高的四面體，它們不可分解爲有限個小四面體，使這兩組四面體彼此全等。M.W.德恩1900年即對此問題給出了肯定解答。

4． 兩點間以直線爲距離最短線問題 此問題提得過於一般。滿足此性質的幾何學很多，因而需增加某些限制條件。1973年，蘇聯數學家波格列洛夫宣布，在對稱距離情況下，問題獲得解決。

《中國大百科全書》說，在希爾伯特之後，在構造與探討各種特殊度量幾何方面有許多進展，但問題並未解決。

5.一個連續變換群的李氏概念，定義這個群的函數不假定是可微的 這個問題簡稱連續群的解析性，即：是否每一個局部歐氏群都有一定是李群？中間經馮·諾伊曼（1933，對緊群情形）、邦德裏雅金（1939，對交換群情形）、謝瓦莢（1941，對可解群情形）的努力，1952年由格利森、蒙哥馬利、齊賓共同解決，得到了完全肯定的結果。

6.物理學的公理化 希爾伯特建議用數學的公理化方法推演出全部物理，首先是概率和力學。1933年，蘇聯數學家柯爾莫哥洛夫實現了將概率論公理化。後來在量子力學、量子場論方面取得了很大成功。但是物理學是否能全盤公理化，很多人表示懷疑。

7.某些數的無理性與超越性 1934年，A.O.蓋爾方德和T.施奈德各自獨立地解決了問題的後半部分，即對於任意代數數α≠0 ，1，和任意代數無理數β證明了αβ 的超越性。

8.素數問題 包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孿生素數問題等。一般情況下的黎曼猜想仍待解決。哥德巴赫猜想的最佳結果屬於陳景潤（1966），但離最解決尚有距離。目前孿生素數問題的最佳結果也屬於陳景潤。

9．在任意數域中證明最一般的互反律 該問題已由日本數學家高木貞治（1921）和德國數學家E.阿廷（1927）解決。

10． 丟番圖方程的可解性 能求出一個整係數方程的整數根，稱爲丟番圖方程可解。希爾伯特問，能否用一種由有限步構成的一般算法判斷一個丟番圖方程的可解性？1970年，蘇聯的IO.B.馬季亞謝維奇證明了希爾伯特所期望的算法不存在。

11． 係數爲任意代數數的二次型 H.哈塞（1929）和C.L.西格爾（1936，1951）在這個問題上獲得重要結果。

12． 將阿貝爾域上的克羅克定理推廣到任意的代數有理域上去 這一問題只有一些零星的結果，離徹底解決還相差很遠。

13． 不可能用只有兩個變數的函數解一般的七次方程 七次方程 的根依賴於3個參數a、b、c，即x=x （a，b，c）。這個函數能否用二元函數表示出來？蘇聯數學家阿諾爾德解決了連續函數的情形（1957），維士斯金又把它推廣到了連續可微函數的情形（1964）。但如果要求是解析函數，則問題尚未解決。

14． 證明某類完備函數係的有限性 這和代數不變量問題有關。1958年，日本數學家永田雅宜給出了反例。

15． 舒伯特計數演算的嚴格基礎 一個典型問題是：在三維空間中有四條直線，問有幾條直線能和這四條直線都相交？舒伯特給出了一個直觀解法。希爾伯特要求將問題一般化，並給以嚴格基礎。現在已有了一些可計算的方法，它和代數幾何學不密切聯係。但嚴格的基礎迄今仍未確立。

16． 代數曲線和代數曲線面的拓撲問題 這個問題分爲兩部分。前半部分涉及代數曲線含有閉的分枝曲線的最大數目。後半部分要求討論 的極限環的最大個數和相對位置，其中X、Y是x、y的n次多項式.蘇聯的彼得羅夫斯基曾宣稱證明了n=2時極限環的個數不超過3，但這一結論是錯誤的，已由中國數學家舉出反例（1979）。

17． 半正定形式的平方和表示 一個實係數n元多項式對一切數組(x1,x2,...,xn) 都恒大於或等於0，是否都能寫成平方和的形式？1927年阿廷證明這是對的。

18． 用全等多面體構造空間 由德國數學家比勃馬赫（1910）、莢因哈特（1928）作出部分解決。

19． 正則變分問題的解是否一定解析 對這一問題的研究很少。C.H.伯恩斯坦和彼得羅夫斯基等得出了一些結果。

20． 一般邊值問題 這一問題進展十分迅速，已成爲一個很大的數學分支。目前還在繼續研究。

21． 具有給定單值群的線性微分方程解的存在性證明 已由希爾伯特本人（1905）和H.羅爾（1957）的工作解決。

22． 由自守函數構成的解析函數的單值化 它涉及艱辛的黎曼曲面論，1907年P.克伯獲重要突破，其他方面尚未解決。

23． 變分法的進一步發展出 這並不是一個明確的數學問題，只是談了對變分法的一般看法。20世紀以來變分法有了很大的發展。

這23問題涉及現代數學大部分重要領域，推動了20世紀數學的發展。


來源:http://ygdd.lzw.cn/showed.asp?ed_id=1643&cat_id=11

[ 本文最後由 M.N.M. 於 06-7-17 04:20 PM 編輯 ]

神乎其技滴小白

我只有聽過數學七大難題...

大概是我才疏學淺吧...

或許另外3題已經被證明出來了吧 !
(例如:費瑪最後定理)



七大數學難題

德國數學家David Hilbert於1900年在巴黎舉行的第二屆國際數學家協會中公布了他的23個數學難題，百年來，已經解出了20個問題，而這些結果間接促成了文明史上醫學、科技、與安全問題的重大突破。

不久前英、美兩家出版社獎勵說，誰能在兩年內證明哥德巴赫猜想，將可得到獎金100萬美元。稍後，美國「克萊數學院」2000年5月24日又宣佈，7大數學難題懸賞求解。學院將這7大難題命名為『千禧年大獎問題』，並將發給每位正確解答者100萬美元。根據學院規定，解答必須公布在知名的數學期刊上，並且保留2年的辯證期。一旦通過多方辯證考驗，數學界大家都滿意他的證明後，「克萊數學院」會在頒發獎金前公開所有的審核過程。主辦單位認為，第一筆獎金最快也要到4年後才會發出。

在「克萊數學院」宣佈7大難題懸賞舉行的新聞發佈會上，身為「克萊數學院」委員，並在1995年因修正了「費瑪最後定理（Fermat's Last Theorem）」的邏輯漏洞而名噪一時的懷爾斯（Andrew Wiles）說：「這些是二十世紀最難解的七大數學問題了。希望透過獎金獎勵，可以吸引並發掘新一代的數學家。」他自己對於興趣在一個數學家成長過程中的作用有著深刻的體會。懷爾斯回憶說，他10歲時在一本連環畫上首次知道了什麼是『費爾馬大定理』，這成為他不斷探索問題解答的起點。「克萊數學院」揮金如土的另一個原因，是因為此次懸賞求解的7大難題是20世紀中仍未被數學家解決的數學題。過去100年來，最優秀的數學家面對它們都無計可施。而這幾道難題的破解，極有可能為密碼學等研究帶來革命。例如，有關專家指出，7大難題中最有名的『黎曼假設』一旦獲得解答，將有助於研製出提高網路上資訊傳輸的安全性，客戶的信用卡賬號資訊、醫療和金融資料等將獲得到更高的保障。而其餘的"普安卡雷猜想"、"霍奇猜想"、"戴爾猜想"、"斯托克斯方程"、"米爾斯理論"以及"P對NP問題"等6大難題，解決後可能給航太等領域帶來突破性進展，並開展出空前的數學研究領域。　　

1.黎曼假設 The Riemann Hypothesis

2.普安卡雷猜想 The Poincare Conjecture

3.霍奇猜想 The Hodge Conjecture

4.戴爾猜想The Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture

5.斯托克斯方程（流體力學的N-S方程式）Navier-Stokes Existence and Smoothness

6.米爾斯理論「The Yang-Mills Theory」（楊密規範場論）Yang-Mills Existence and Mass Gap

7.P對NP問題 P versus NP


參考資料克萊數學院 Clay Mathematics Institute -千禧七大難題

[ 本文最後由 神乎其技滴小白 於 06-7-19 10:41 PM 編輯 ]