國際競賽題2

~冠~

1.難度:☆☆☆ (不等式)
設a,b,c為一個三角形的三邊長,試證明:
sqrt(a+b-c)+sqrt(b+c-a)+sqrt(c+a-b)<=sqrt(a)+sqrt(b)+sqrt(c)
並問等號何時成立?

2.難度:☆☆☆ (組合數學)
10人到書店去買書,已知:
(1)每個人都買了三種書
(2)任何兩人買的書中,都至少有一種相同.
問購買人數最多的一種書最少有幾人購買? 並證明.

3.難度:☆☆☆ (幾何)
銳角三角形ABC中,角BAC=60度,且AB>AC. 設I為其內心,H為其垂心.
試證: 2角AHI=3角ABC.