階乘(factorial)

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M.N.M.

名望的英雄

電梯直達

1^#

發表於 06-7-10 17:42:37 |只看該作者 |降序瀏覽大字中字小字正體化简体化

1751年，歐拉以大寫字母M表示m階乘　　　　
M=1*2*3*...*m 　

1799年，魯非尼在他出版的方程論著述中，則以小寫字母π表示m階乘，而在 1813年，高斯則以Π(n)來表示n階乘。而用來表示n階乘的方法起源於英國，但仍未能確定始創人是誰。直至1827年，由於雅萊特的建議而得到流行，現在有時也會以這個符號作為階乘符號。

而最先提出階乘符號n!的人是克拉姆 (1808)，後來經過歐姆等人的提倡而流行，直至現在仍然通用。
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這裡都是代數的部份
和階乘在代數部分比較有名的題型

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1!=1，2!=2，3!=6，4!=24，5!=120，6!=720，7!=5040
這幾個蠻常用的，背起來可加快計算速度

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階乘和的規律

1!=1
2!+1!=3
3!+2!+1!=9
4!+…+1!=33
5!+…+1!=153
6!+…+1!=873
7!+…+1!=5913
8!+…+1!=46233
9!+…+1!=409113
10!+…+1!=4037913
11!+…+1!=43954713
12!+…+1!=522956313
13!+…+1!=6749977113
14!+…+1!=93928268313
15!+…+1!=1401602636313
16!+…+1!=22324392524313
17!+…+1!=378011820620313
18!+…+1!=6780385526348313
19!+…+1!=128425485935180313
20!+…+1!=2561327494111820313
21!+…+1!=53652269665821320313
22!+…+1!=1177652997443431320313
23!+…+1!=27029669736328431320313
24!+…+1!=647478071469567431320313
25!+…+1!=16158688114800567431320313

相信各位都發現有神奇的規律吧

而有一種題目就是

例:1!+2!+3!+...+10!的十位數字為何？

由上列得知十位數為1
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分項消去法的問題

這是一種技巧法的問題

最常見的就是這樣的問題

1*1!+2*2!+3*3!+4*4!+5*5!=?

原式=(2-1)*1!+(3-1)*2!+(5-1)*4!+(6-1)*5!

=(2!-1!)+(3!-2!)+(5!-4!)+(6!-5!)

(最大和最小對消不了)

=6!-1!

=719

延伸

1*1!+2*2!+3*3!+...+n*n!

=(2!-1!)+(3!-2!)+(5!-4!)+...+[(n+1)!-n!)

=(n+1)!-1

公式就出來了

進階

(91!*91+90!*90+........+2!*2+1!*1)/2002之餘數為何?

因為2002=2*7*11*13,

在 13! to 91! 的因子中都有這4個數.

所以(91!*91+90!*90+........+2!*2+1!*1)可被2002整除

所以(91!*91+...+2!*2+1!*1)/2002的餘數=(1!*1+2!*2+...+12!*12)/2002的餘數

1!*1+2!*2+...+12!*12=13!-1=13!+2001-2002(餘數無負值)

則(91!*91+...+2!*2+1!*1)/2002的餘數=2001

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尾數共有幾個0

1000!的尾數共有幾個0

要有0的話，必是2和5相乘的結果

不過1~1000中，一定2比5多

所以只要考慮有多少個5就能找出有多少個0

但是要注意

25可以拆成2個5,125可以拆成3個5，625可以拆成4個5

找個數的方法總是常出現多的，這時就可用高斯符號就不可用考慮多餘的

[1000/5]+[1000/25]+[1000/125]+[1000/625]

=200+40+8+1

=249

進階

2002!/[(1001!)^2]的末尾有幾個0?

此題是AMC的考古題

這題重點在多出0的末尾對消的問題和平方會使末尾的0變原來兩倍

先看2002!的

[2002/5]+[2002/25]+[2002/125]+[2002/625]

=400+80+16+3

=499

再來看(1001!)^2

[1001/5]+[1001/25]+[1001/125]+[1001/625]

=200+40+8+1

=249

所以(1001!)^2的末尾有249*2=498個0

相除時0會對消

所以499-498=1

所以2002!/[(1001!)^2]的末尾有1個0

再進階

試問使得n!的最後88位數字全是0的最小正整數n為何?

此題是要逆向思考

先從100!找

[100/5]+[100/25]=24

考慮200!

[200/5]+[200/25]+[200/125]=49

考慮300!

[300/5]+[300/25]+[300/125]=74

還差14個

考慮350!

[350/5]+[350/25]+[350/125]=86

差兩個

所以多一個5就是355

再多一個就是360，剛好88個5

所以n的最小值為360

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整除的問題

試問:7^n能整除2400!時,n的最大值為何?

此題7^n次方，n就是指有多少個7相乘

所以可以用高斯符號找有多少個7

[2400/7]+[2400/49]+[2400/343]

=342+48+6

=396

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這是程式跑出的小知識

加1之後會成為完全平方數的階乘目前知道有三個

4!+1=25=5^2=25

5!+1=121=11^2=121

7!+1=5041=71^2=5041

1個正整數其各位數字階乘和剛好等於自己本身，這樣的正整數只有四個

1=1!

2=2!

145=1!+4!+5!

40585＝4!+0!+5!+8!+5! (0!=1)

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二進階乘"n!!"

當n為奇數時
n!!=1*3*5*...*(n-2)*n
例:9!!=1*3*5*7*9

當n為0
n!!=0

當n為偶數
n!!=2*4*6*...*(n-2)*n
例:10!!=2*4*6*8*10

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