正多面體

M.N.M.

正多面體只有5種，以下是證明
要運用得概念就是每面必須小於360度，否則就變成平面了
設m個正n角(邊)形共用一點
每一角都為[(n-2)/n]*180
有m個，所以m*[(n-2)/n]*180<360
=>m*[(n-2)/n]<2
=>m(n-2)<2n
=>mn-2n-2m<0
=>mn-2n-2m+4<4
=>(m-2)(n-2)<4
則(m，n)有以下結果
(m，n)=(3，3).....正4面體
(m，n)=(3，4).....正6面體
(m，n)=(4，3).....正8面體
(m，n)=(3，5).....正12面體
(m，n)=(5，3).....正20面體
在柏拉圖的文獻中有提到這些多面體，所以又稱"柏拉圖體(Platonic Bodies)"
題外話:很多病毒是正20面體(icosahedron),例如:皰疹(herpes)病毒,水痘(chickenpox)病毒 ,人體疣(human wart)病毒,犬類傳染性肝炎病毒,腺病毒(adenovirus)等.

V=頂點數(number of vertices)，E=邊數(number of edges)，F=面數(number of faces)，邊長為a


正4面體(Tetrahedron):
由4個正三角形組成
V=4，E=6，F=4
每面面積=[(√3)/4]*(a^2)
內切圓球半徑=[(√6)/12]*a
外接圓球半徑=[(√6)/4]*a
體積=[(√2)/12]*(a^3)



正6面體(Cube):
由6個正方形組成
V=8，E=12，F=6
每面面積=a^2
內切圓球半徑=a/2
外接圓球半徑=[(√3)/2]*a
體積=a^3



正8面體(Octahedron):
由8個正三角形組成
V=6，E=12，F=8
每面面積=[(√3)/4]*(a^2)
內切圓球半徑=[(√6)/6]*a
外接圓球半徑=[(√2)/2]*a
體積=[(√2)/3]*(a^3)



正12面體(Dodecahedron):
由12個正五邊形組成
V=20，E=30，F=12
每面面積=[√(25+10√5)/4]*(a^2)
內切圓球半徑=[√(250+110√5)/25]*a
外接圓球半徑={[(√15)+(√3)]/4}*a
體積=[(15+7√5)/4]*(a^3)



正20面體(Icosahedron):
由20個正三角形組成
V=12，E=30，F=20
每面面積=[(√3)/4]*(a^2)
內切圓球半徑=[√(42+18√5)/12]*a
外接圓球半徑=(10+2√5)/4]*a
體積=5*[(3+√5)/12]*(a^3)

準正多面體
在達文西(Leonardo de Vinci)的書中(科學第一人)，有描述一幅封閉多面體的素描，這個多面體是正三角形和正五邊形組成的(如圖)，那麼到底用了多少正三角形和正五邊形呢?

在這邊就要用到尤拉公式了
尤拉公式:頂點數-邊數+面數=2
可以從圖中得知，4面共用1頂點，兩面共用1邊，設有x個正三角形，y個正五邊形，則:
頂點數:(3x+5y)/4
邊數:(3x+5y)/2
面數:x+y
將以上代入尤拉公式
[(3x+5y)/4]-[(3x+5y)/2]+(x+y)=2
=>x-y=8......(1)

邊數相等:3x=5y......(2)

由(1)(2)=>x=20，b=12

所以此多面體用了20個正三角形和12個正五邊形

其他的準多面體可以用上面方法找出使用多少個正多邊(角)形，如果解中有負數表示無解

[ 本文最後由 M.N.M. 於 06-10-13 03:57 PM 編輯 ]

上官殘心

大大的證法比較簡單
我們老師的證法比較難
設每面為正n邊形 每個頂點由m個邊集合m>=3.n>=3
by尤拉公式
nF/2=E F=2E/n
nV/2=E V=2E/m 代入V-E+F=2
2E/m-E+2E/n=2
2E/m+2E/n=E+2
2/m+2/n=1+2/E>1
2/m+2/n>1
2n+2m>mn
mn-2n-2m<0
n(m-2)-2m<0
n(m-2)-2(m-2)<4
(m-2)(n-2)<4
再來大大的一模一樣

請問是大大想出來的嗎
因為我們老師說這是比較簡單的證法
沒想到大大的證法更讓人聽的懂

M.N.M.

[quote=上官殘心]大大的證法比較簡單
我們老師的證法比較難
設每面為正n邊形 每個頂點由m個邊集合m>=3.n>=3
by尤拉公式
nF/2=E F=2E/n
nV/2=E V=2E/m 代入V-E+F=2
2E/m-E+2E/n=2
2E/m+2E/n=E+2
2/m+2/n=1+2/E&...[/quote]
只是翻書翻到而已(雖然已經吸收了
所以並不是在下自己想出來的
不過那解法必須空間概念不錯才能理解

撐傘人

是那一本書呢？大大介紹一下吧！

M.N.M.

原文由 撐傘人 於 06-8-23 10:47 PM 發表
是那一本書呢？大大介紹一下吧！

圖解數學基礎入門

裡面的內容都是圖解XD