高、國中數學解題

傲月光希

1.高中：
有甲、乙、丙三個大糖果桶，桶內之糖果顆數皆不同，且都少於10000顆。今若2顆一數、5顆一數、7顆一數分送大家，則各桶皆餘1顆；若3顆一數則各桶皆餘2顆，11顆一數則各桶皆餘10顆。已知甲桶內糖果之顆數最多，請問甲桶內糖果可能有幾顆？(請寫明計算過程)

2.國中：
已知 1/2 = 1/3 + 1/6 ，考慮等式 1/12 = 1/m + 1/n 且 m,n 為不同的正整數,
試列出 m+n 的所有可能的值? 並說明解法？

轉自高師大附中

xvmon123

第一提來試試....
所求=X=70P+1
   令P=3Q+R
所以X=70(3Q+R)+1
       =210Q+70R+1
       =3(70Q+23R)+R+1    =>R=1   X改寫成210Q+71
   令Q=11S+r
所以X=210(11S+r)+71
       =210*11S+210r+71
       =11(210S+19r+6)+r+5   =>r=5  所以X=2310S+1121
S=3帶入
所以6930+1121=8051
所求為8051
不知道對不對....

傲月光希

原文由 xvmon123 於 06-9-1 08:56 PM 發表
第一提來試試....
所求=X=70P+1
   令P=3Q+R
所以X=70(3Q+R)+1
       =210Q+70R+1
       =3(70Q+23R)+R+1    =>R=1   X改寫成210Q+71
   令Q=11S+r
所以X=210(11S+r)+71
       =2 ...

對是對，但是答案有兩個喔～
提示你，第一，範圍內所有可能的答案都要考慮
　　　　第二，甲乙丙桶都要考慮

[ 本文最後由 傲月光希 於 06-9-1 09:12 PM 編輯 ]

aeoexe

只有以下7個情況,
1/12=1/18+1/36 m+n=48
1/12=1/16+1/48 m+n=64
1/12=1/60+1/15 m+n=75
1/12=1/30+1/20 m+n=50
1/12=1/84+1/14 m+n=108
1/12=1/21+1/28 m+n=49
1/12=1/156+1/13 m+n=169
因為1/12=1/m+1/n=>mn/(m+n)=12
設m=12k,n=k
得到12k/13=12
k=13
設m=3k,n=4k
12k/7=12
k=7
設m=6k,n=2k
12k/8=12
k=8
利用1/2=1/6+1/3
得到1/12=1/36+1/18
m>n
mn/m+n=12=>(m-12)(n-12)=144
m-12=72,n-12=2 =>n=14, m=84
m-12=18,n-12=8 =>m=30,n=20
m-12=48,n-12=3 =>m=60,n=15
終於全解了
(筆誤率200%)
(雖然是不自然..但是偶可懶了..)

[ 本文最後由 aeoexe 於 06-9-2 10:11 AM 編輯 ]

hydralisk

我覺得你解的怪怪的

1/12=1/m+1/m=>mn/(m+n)=12

這裡好像要把(m+n)給乘過去

mn=12(n+m)

然後

n=12m/(m-12)

畫圖

傲月光希

原文由 aeoexe 於 06-9-2 12:09 AM 發表
只有以下7個情況,
1/12=1/18+1/36 m+n=48
1/12=1/16+1/48 m+n=64
1/12=1/60+1/15 m+n=75
1/12=1/30+1/20 m+n=50
1/12=1/84+1/14 m+n=108
1/12=1/21+1/28 m+n=49
1/12=1/156+1/13 m+n=169
因為1/12=1/m+1/m=>mn/(m+n)=12
設m=12k,n=k
得到12k/13=12
k=13
設m=3k,n=4k
12k/7=12
k=7
設m=6k,n=2k
12k/8=12
k=8
利用1/2=1/6+1/3
得到1/12=1/36+1/18
m>n
(m+n)/mn=12=>(m-12)(n-12)=144
m-12=72,n-12=2 =>n=14, m=84
m-12=18,n-12=8 =>m=30,n=20
m-12=48,n-12=3 =>m=60,n=15
終於全解了

紅色地方有筆誤，最好趕緊修正

上帝使者

我敗了.....看攏無= =

M.N.M.

1.要找出最小才不會有漏掉的可能性

由若2顆一數、5顆一數、7顆一數分送大家，則各桶皆餘1顆得知
甲、乙、丙通式=[2，5，7]a+1=70a+1(a為0或正整數)

再找出可以使3顆一數則各桶皆餘2顆的最小值
當a=1有最小值71

由11顆一數則各桶皆餘10顆和上式條件得知
甲、乙、丙通式=[2、3、5、7]b+71=210b+71(b為0或正整數)

再找出可以使11顆一數則各桶皆餘10顆的最小值
當b=10有最小值1121

所以符合題目條件的甲、乙、丙通式=[2，3，5，7，11]c+1121=2310c+1121(c為0或正整數)

甲、乙、丙的可能值為1121、3431、5741、8051

所以甲只可能為5741 or 8051

原文由 上帝使者 於 06-9-2 09:50 AM 發表
我敗了.....看攏無= =

請說明看不懂的地方

[ 本文最後由 M.N.M. 於 06-9-2 03:26 PM 編輯 ]

傲月光希

1.

M.N.M.已經解出

2.
aeoexe已解出

另一解法：

令1/A=1/m+1/n，其中A,m,n屬於整數
顯然1/A>1/m，1/A>1/n
設m=A+a，n=A+b
則1/A=1/(A+a)+1/(A+b)
=>(A+a)(A+b)=A(A+a)+A(A+b)
=>A^2=ab

令A=12，則A^2=12^2=(2^4)*(3^2)
=>A^2=1*144=2*72=3*48=4*36=6*24=8*18=9*16

所以1/12=1/(12+1)+1/(12+144)=1/13+1/156，m+n=169
　　　　 =1/(12+2)+1/(12+72)=1/14+1/84，m+n=98
　　　　 =1/(12+3)+1/(12+48)=1/15+1/60，m+n=75
　　　　 =1/(12+4)+1/(12+36)=1/16+1/48，m+n=64
　　　　 =1/(12+6)+1/(12+24)=1/18+1/36，m+n=54
　　　　 =1/(12+8)+1/(12+18)=1/20+1/30，m+n=50
　　　　 =1/(12+9)+1/(12+16)=1/21+1/28，m+n=49
共七種表示方式