大一微積分：自然指數跟泰勒展開式(吧?)

牧野 空

第一題的自然指數推導
不管我從0 < a < b 開始推
或是從要證明的式子反推都會卡住..
請問有什麼關鍵的點嗎 ( 像是要用e之類的= =||| )
第二題要求的極限我也搞不太懂 h趨近於0 跟 θ 有什麼關係(狂汗
雖然我知道那是泰勒展開式
不過我不太瞭解多出個 θ 是怎樣
拜託各位了OTZ



另外
這題講的non-zero integer是非零整數的意思吧?
因為我老師跳過這部份沒有講
希望有人能幫忙解說一下



感謝各位有幫忙想及解答的人！

傲月光希

第一題還蠻常在均值定理那地方出現，所以用普通推導方法是求不太出來的

均值定理(Mean Value Theorem)敘述如下：

若一函數f(x)在[a,b]必區間連續，又在(a,b)開區間可微，則
存在一實數c在(a,b)中使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a).

令f(x)=lnx。因為0<a<b，所以f(x)在[a,b],(a,b)分別連續且可微。由均值定理
存在c使得ln(b/a)=lnb-lna=f'(c)(b-a)=(b-a)/c
因為a<c<b，所以1/b<1/c<1/a
=>(b-a)/b<(b-a)/c=ln(b/a)<(b-a)/a，得證

第二題還在想

第三題，nonzero的確是非0整數
f(x)/g(x)這類型的函數，因為分子分母的極限都趨近於0，所以可以用羅必達法則(L'Hospital Rule)

lim[sin(mx)]/[cos(nx)]=lim[m*cos(mx)]/[n*cos(nx)]=-m/n if 2|(m^2+n^2-1)
x->pi                               x->pi                                           m/n if 2|(m^2+n^2)

gary12378

這題其實是要從它的餘項來求誤差吧...