高中數學問答1

M.N.M.

3.
(cotα+cotβ)/cscβ=[(cosα/sinα)+(cosβ/sinβ)] / (1/sinβ)=sin(α+β)/sinα

同理(cotβ+cotγ)/cscβ=sin(β+γ)/sinγ

延長PB，PC至T與T'，使PB=PT、PC=CT'，連接AT、DT'

∵AB=BC=CD，∠ABT=∠PBC，∠DCT'=∠PCB，PB=PT、PC=CT'

∴△ABT全等△CBP(SAS)，△DCT'全等△PCB(SAS)

∴∠T=∠T'=∠BPC=β，∠TAP=pi-(α+β)

PT/sin[pi-(α+β)]=AT/sinα=PC/sinα(∵AT=PD)

∴sin(α+β)/sinα=PT/PC=2PB/PC

同理sin(β+γ)/sinγ=2PC/PB

∴(cotα+cotβ)(cotβ+cotγ)/csc²β=(2PB/PC)(2PC/PB)=4

=>(cotα+cotβ)(cotβ+cotγ)=4csc²β

故得證