急件~~有關科西不等式的問題 明天需要

傲月光希

幫你補充柯西不等式的證明(反正無聊= =)(謎：其實他是來賺文章數的)

有分高中跟大學兩種，高中我忘了(毆)，我就用大學證法好了= =a

pf:


由附圖可以看到，u,v是兩根向量，而且u,v之間有夾一個角度
其中可以看到u-αv跟v是互相垂直的。因為我們只討論在實數座標系的柯西不等式，因此α是實數常數
１、
若v=O，則∣u∣∣v∣=∣u∣*0=0=u．Ｏ=u．v，得證(這裡O為零向量)
２、
若v≠O，則
0≦(u-αv)．(u-αv)  (因為一根向量自己內積自己必大於等於0，自己內積自己就是那根向量的長度平方)
　=(u．u)-(u．αv)-(αv．u)+(α*α)(v．v)
　=(︱u︱^2)-(u．αv)-(u．αv)+(α^2)(∣v∣^2)
　=(∣u∣^2)-2α(u．v)+(α^2)(∣v∣^2)

取α=(u．v)/(∣v∣^2)　(為什麼？)

則0≦(∣u∣^2)-2[(u．v)/(∣v∣^2)](u．v)+{[(u．v)^2]/(∣v∣^4)}(∣v∣^2)
　　=(∣u∣^2)-2[(u．v)^2]/(∣v∣^2)+[(u．v)^2]/(∣v∣^2)
　　=(∣u∣^2)-[(u．v)^2]/(∣v∣^2)
=>∣u∣^2≧[(u．v)^2]/∣v∣^2
=>(∣u∣^2)(∣v∣^2)≧(u．v)^2
=>∣u∣∣v∣≧(u．v)......得證

接下來求α

由圖知道(u-αv)．v=0
=>(u．v)-α(v．v)=0
=>(u．v)-α∣v∣^2=0
=>α∣v∣^2=u．v
=>α=(u．v)/(∣v∣^2)......得證

柯西不等式可以推廣到n維空間，而且不只是我們所認識的2維、3維的實數空間會有內積，連複數空間，或是我們自己所定出來的一個內積空間，都會符合柯西不等式

一個可內積的空間一定是一個向量空間，但是一個向量空間不一定是內積空間

所謂的內積空間(Inner Product Space)就是任何這個空間裡的向量間的內積都會有定義，而且滿足歐基里德內積(<,>=歐基里德內積)，而且它滿足以下條件：
　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　  _____
(1)對所有的向量u,v在一內積空間，<u,v>=<v,u> (上面那條槓叫做"罷"，就是共軛的意思)
(2)<u+v,w>=<u,w>+<v,w>
(3)<αu,v>=α<u,v>，對所有α為常數
(4)對所有內積空間裡的向量u，<u,u>=∥u∥^2≧0；而且<u,u>=0若且唯若u=O(若且為若=充要條件)(∥u∥就是u的norm，也就是u向量的長度)

這些等你大學線性代數會有詳細解說，這裡便不再多說

[ 本文最後由 傲月光希 於 06-9-5 12:25 PM 編輯 ]