挑戰119

M.N.M.

國中
1.設f(x)=x^2+x+1，若f(x-1)=g(x+1)，g(x+3)=h(x-5)，h(x+2)=k(x-3)，求k(x)

2.二圓C_1，C_2之半徑分別為R_1=√ 3，R_2=1，又兩圓圓心之距離為2，求兩圓重疊部分之面積

3.a，b為正實數，若a^2 +b^2>72，證:a，b兩者中至少有一個數大於6

4.數列[2070/1],[2070/2],....,[2070/2070]，共有幾個相異的整數? ([x]表高斯符號)


高中
1.設n為正整數，證:n^(1/n)<1+√ (2/n)

2.lim(n→∞) [x]/x=?  ([x]表高斯符號)

3.lim(n→∞) (10^n)/n!=?

4.在區間0≦x≦2pi中找出滿足下列不等式
2cos x≦│ [√ (1+sin 2x) ] - [√ (1-sin 2x)] │≦√ 2
之所有x值

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喫小草

高中
2.lim(n→∞) [x]/x=?  ([x]表高斯符號)
ans:因為變數是n
       所以x在此為常數
         即lim(n→∞) [x]/x=[x]/x
3.lim(n→∞) (10^n)/n!=?
ans:lim(n→∞) (10^n)/n!=(10*10*10*10*10*....)/(1*2*3*...*10*11*...)
    =10/1*10/2*10/3*10/4*....*10/10*10/11*10/12*...
    =(10^9)/(9!)*(10/10)*(10/11)*(10/12)*...*(10/10^9)*...
    =(10^9)/(9!)*(10/10^9)*(10/10)*(10/11)*(10/12)*...*(10/10^9-1)*(10/10^9+1)*(10/10^9+2)*...
    =(10/9!)*(10/10^9)*(10/10)*(10/11)*(10/12)*...*(10/10^9-1)*(10/10^9+1)*(10/10^9+2)*...
    趨近於0
    所以lim(n→∞) (10^n)/n!=0
4.在區間0≦x≦2pi中找出滿足下列不等式
   2cos x≦│ [√ (1+sin 2x) ] - [√ (1-sin 2x)] │≦√ 2
   之所有x值
ans:2cos x ≦│ [√ (1+sin 2x) ] - [√ (1-sin 2x)] │≦ √2
    2cos x ≦│ ±√ ( [√ (1+sin 2x) ] - [√ (1-sin 2x)] )^2 ≦ √2
    2cos x ≦│ ±√[(1+sin 2x)-2√ (1+sin 2x)√ (1-sin 2x)+(1-sin 2x)] │≦ √2
    2cos x ≦│ ±√[(1+sin 2x)-2√ [1^2-(sin 2x)^2]+(1-sin 2x)] │≦ √2
    2cos x ≦│ ±√[(1+sin 2x)-2√ [(cos 2x)^2]+(1-sin 2x)] │≦ √2
    2cos x ≦│ ±√[(1+sin 2x)-2(cos 2x)+(1-sin 2x)] │≦ √2
    2cos x ≦│ ±√[2-2(cos 2x)] │≦ √2
    2cos x ≦│ ±2√[(1-cos 2x)/2] │≦ √2
    2cos x ≦│ ±2sin x │≦ √2
    2cos x ≦2│ ±sin x │≦ √2
    cos x ≦│ ±sin x │≦ 1/√2
    所以
    pi/4 ≦ x ≦ 7pi/4

[ 本文最後由 喫小草 於 08-1-1 11:43 PM 編輯 ]

蓮花蝶

高中2是這樣子的吧？

[ 本文最後由 蓮花蝶 於 07-12-25 03:31 PM 編輯 ]

turnX

1.設f(x)=x^2+x+1，若f(x-1)=g(x+1)，g(x+3)=h(x-5)，h(x+2)=k(x-3)，求k(x)

另解
K(x)=h(x+5)=g(x+13)=f(x+11)
所以k(x)為f(x+11)
k(x)=f(x+11)=(x+11)^2+(x+11)+1=x^2+22x+121+x+12=x^2+23x+133

Ans:x^2+23x+133

喫小草

國中
1.設f(x)=x^2+x+1，若f(x-1)=g(x+1)，g(x+3)=h(x-5)，h(x+2)=k(x-3)，求k(x)
ans:f(x-1)=(x-1)^2+(x-2)+1=(x+1)^2-3(x+1)+3=g(x+1) => g(x)=x^2-3x+3
    g(x+3)=(x+3)^2-3(x+3)+3=(x-5)^2+13(x-5)+43=h(x-5) => h(x)=x^2+13x+43
    h(x+2)=(x+2)^2+13(x+2)+43=(x-3)^2+23(x-3)+133 => k(x)=x^2+23x+133
    即k(x)=x^2+23x+133
2.二圓C_1，C_2之半徑分別為R_1=√ 3，R_2=1，又兩圓圓心之距離為2，求兩圓重疊部分之面積
ans:假設2圓交點為p,q,圓心分別為o1,o2
    o2p線段:po1線段:o1o2線段=1:√ 3:2 => 直角三角形 角度:30度:60度:90度
    重疊面積=2*[(√ 3)^2*pi*(30/360)+1^2*pi*(60/360)-1*(√ 3)/2]
            =(5*pi-6*√ 3)/6
3.a，b為正實數，若a^2 +b^2>72，證:a，b兩者中至少有一個數大於6
ans:假設a≦6,b≦6
    a^2≦36,b^2≦36
    則a^2+b^2≦36+36=72
    與原題矛盾
    所以a,b至少有一個數大於6
4.數列[2070/1],[2070/2],....,[2070/2070]，共有幾個相異的整數? ([x]表高斯符號)
ans:90
    x=給的一個整數,y=[√x]
    1: y*(y+1)>x 則 ans=2y-1
    2: y*(y+1)≦x 則 ans=2y
    x=2070
    y=[√x]=[√2070]=45
    45*(45+1)=2070≦2070
    所以ans=2*y=2*45=90

[ 本文最後由 喫小草 於 07-12-24 07:40 PM 編輯 ]

turnX

3.a，b為正實數，若a^2 +b^2>72，證:a，b兩者中至少有一個數大於6

A.M.>=G.M.

(a+b) >= 2*sqrt(ab)
左右平方

a^2+2ab+b^2 >= 4ab
a^2+b^2 >= 2ab

2ab=72
ab=36
a和b必有一 >=6
由於 a^2+b^2 > 72
所以必有一者大於6
故得證

[ 本文最後由 turnX 於 07-12-23 11:18 PM 編輯 ]