挑戰76

M.N.M.

1.因式分解:(x^8)+98(x^4)(y^4)+(y^8)

2.平面給定1004個點，將連接每兩點的線段中點塗成黑色，證明:至少有2005個點，且能找到恰有2005個黑點的點集

3.任給12個不同的整數，證明:其中必存在8個數，將它們用適當的運算符號連起來後運算的結果是3465的倍數

[ 本文最後由 M.N.M. 於 07-2-24 05:12 PM 編輯 ]

tzhau

1.　x^8+98(x^4)(y^4)+y^8

　=[x^8+16(x^6)(y^2)+66(x^4)(y^4)+16(x^2)(y^6)+y^8]-16[(x^6)(y^2)-2(x^4)(y^4)+(x^2)(y^6)]

　=[x^4+8(x^2)(y^2)+y^4]^2 - [4(x^3)y-4x(y^3)]^2

　=[x^4+4(x^3)y+8(x^2)(y^2)-4x(y^3)+y^4][x^4-4(x^3)y+8(x^2)(y^2)+4x(y^3)+y^4]

　硬湊出來...

　

　下面圖片是昌爸網站其他大大的解法

[ 本文最後由 tzhau 於 07-2-24 08:57 PM 編輯 ]

‧幻星〞

3.

應該要說不一樣的整數吧..要不然12個都是0..＝　＝

3465=5*7*9*11

除以11的餘數有11種
所以12個數中
必有兩個分在同一種
他們的相差為11的倍數
取這兩數

剩下10個數
而除以9的餘數有9種
所以10個數中
必有兩個分在同一種
他們的相差為9的倍數
取這兩數

剩下8個數
而除以7的餘數有7種
所以8個數中
必有兩個分在同一種
他們的相差為7的倍數
取這兩數

剩下6個數
而除以5的餘數有5種
所以6個數中
必有兩個分在同一種
他們的相差為5的倍數
取這兩數

以上共八數，相減之後為5,7,9,11的倍數，相乘即可

‧幻星〞

2.

能讓最多黑點重疊的情況即是這1004點共線
且每點和其相鄰的點之間的距離都相等

此時恰好有2005個點

1003個在點和點之間
1002個在中間1002個點上

以上是最少黑點的情況

故至少會有2005個點
而當這1004點共線且每點和其相鄰的點之間的距離都相等時
會恰有2005個黑點