挑戰(6)

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M.N.M.

名望的英雄

電梯直達

1^#

發表於 06-2-16 23:19:49 |只看該作者 |降序瀏覽大字中字小字正體化简体化

1.求x^30除以[(x+1)^2][(x^2)+1]的餘式

2.一個n位的正整數稱為精巧的，如果它的n個數字是{1，2，3，...，n}的一個排列
，而且它的前k個數字組成一個能被k整除的整數，k=1，2，...，n
例如，321是一個精巧的三位數，因為1整除3，2整除32，3整除321，問有多少個精巧的六位正整數?

3.求所有正整數m、n 使得 1! + 2! + 3! +....+ n!=m^3

[解答]
1.題意可為f(x)=x^30=(x+1)^2(x^2+1)Q(x)+(ax+b)(x^2+1)+cx+d
其中a,b,c,d為實數

因此f(-1)=1=(-a+b)*2-c+d
　　f'(-1)=-30=2a+(-a+b)(-2)+c
　　f(i)=-1=ci+d

解聯立，a=-14,b=-13,c=0,d=-1

餘式為（－１４Ｘ－１３）（Ｘ^２＋１）－１
展開為－１４Ｘ^３－１３Ｘ^２－１４Ｘ－１４2

2.首先，一個六位精巧數的五位數(這裏都是指從左向右算起的)必定為5。因為前四位數是四的倍數，所以第三第四兩位上的數組成的兩位數應是4的倍數，這只可能是12，16，24，24，32，36，64。又因為第二和第六位數必定是偶數，故24，64不能做為第三第四位數，於是六位精巧數只可能是361254，341256，341652，321654，163254，143256，143652，123654。
進而3不能整除361、341、163和143，最後剩下321654和123654

3.m^3 = 0,1,-1 (mod 7)
而左邊當n>=6 時，左邊=5(mod 7)，沒有可能。故n<=5
1!=1
1!+2!=3
1!+2!+3!=9
1!+2!+3!+4!=33
1!+2!+3!+4!+5!=153
故唯一解為m=n=1