挑戰130

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M.N.M.

名望的英雄

電梯直達

1^#

發表於 08-11-16 22:09:05 |只看該作者 |降序瀏覽大字中字小字正體化简体化

國中
1.設實係數一元二次方程(x^2)+ax+2b-2=0有兩個相異實根，其中一個在區間(0，1)內，另一根在區間(1，2)內，求
(b-4)/(a-2)的取值範圍

2.求解不等式:sqrt(x^2 -a)>=│x-1│-1

3.a、b是關於方程(x^4)+m=9(x^2)的兩個根，且a+b=4，試求m值

高中
1.將2004表示成n個不等的正整數之和，求n的最大值

2.設數列{a_n}，a_n=[(x^n -y^n)]/(x-y)，(n=1，2，...)，其中x，y是方程(m^2)-m-1=0的兩根。
(1)證對任意正整數n，都有a_(n+2)=a_(n+1) +a_n。
(2)證明數列{a_n}中的每一項都是正整數，且任意相鄰兩項都互質

3.以知數列{a_n}中，a_1=2，a_2=2，(a_n)(a_n+1)(a_n+2)=(a_n)+(a_n+1)+(a_n+2)，且(a_n+1)(a_n+2)不等於1，
求(a_1)+(a_2)+(a_3)+...+(a_2008)=?

[ 本文章最後由 M.N.M. 於 08-11-20 19:22 編輯 ]

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aeoexe

名望的鄉紳

2^#

發表於 08-11-18 06:01:35 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

1.設實係數一元二次方程(x^2)+ax+2b-2=0有兩個相異實根，其中一個在區間(0，1)內，另一根在區間(1，2)內，求
(b-4)/(a-2)的取值範圍
由以上資料,我們可以得到,
1<-a<3,0<2b-2<2
-3<a<-1,1<b<2
-5<a-2<-3,-3<b-4<-2
所以2/5<(b-4)/(a-2)<1

3.a、b是關於方程(x^4)+m=9(x^2)的兩個根，且a+b=4，試求m值
設x^2=k,
k^2-9k+m=0
因為a,b是x^4-9x^2+m=0的根,
所以a^2,b^2是k^2-9k+m=0的根,
所以a^2+b^2=9,a+b=4, a^2b^2=m
由前兩條式子,得ab=7/2,m=49/4
當時的a,b分別為[4+sqrt(2)]/2,[4-sqrt(2)]/2

[ 本文章最後由 aeoexe 於 08-11-19 19:11 編輯 ]

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kinkwok456

一般的居民

3^#

發表於 08-11-19 20:31:31 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

高中
1.將2004表示成n個不等的正整數之和，求n的最大值

解
根據題目考慮後得出數列:
1+2+3+4+5........+n = 2004
n( n+1 ) x 1/2 = 2004
解方程得 n=62.81.. or -63.81 (rejected)
所以n的最大值是62

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aeoexe

名望的鄉紳

4^#

發表於 08-11-19 21:38:36 |只看該作者大字中字小字正體化简体化載入全部圖片

3.以知數列{a_n}中，a_1=2，a_2=2，(a_n)(a_n+1)(a_n+2)=(a_n)+(a_n+1)+(a_n+2)，且(a_n+1)(a_n+2)不等於1，
求(a_1)+(a_2)+(a_3)+...+(a_2008)=?
設n=1,得a_3=4/3,
設n=2,得a_4=2,
設n=3,得a_5=2,
設n=4,得a_6=4/3,
所以此數列每三次為一個循環
因為2008/3=669.......1
所以a_1+a_2+...+a_2008=669(2+2+4/3)+2=3570

2.設數列{a_n}，a_n=[(x^n -y^n)]/(x-y)，(n=1，2，...)，其中x，y是方程(m^2)-m-1=0的兩根。
(1)證對任意正整數n，都有a_(n+2)=a_(n+1) +a_n。
(2)證明數列{a_n}中的每一項都是正整數，且任意相鄰兩項都互質

(1)設x>y,解m^2-m-1=0,
x=(1+sqrt(5))/2, y=(1-sqrt(5))/2
所以x-y=sqrt(5),x^2=[3+sqrt(5)]/2,y^2=[3-sqrt(5)]/2
a_n+a_(n+1)=[x^(n+1)+x^n-y^(n+1)-y^n]/(x-y)
                        =[x^n(u+1)-y^n(v+1)]/(x-y)
                        =[x^n[3+sqrt(5)]/2-y^n[3-sqrt(5)]/2]/(x-y)
                        =[x^(n+2)-y^(n+2)]/(x-y)
                        =a_(n+2)
所以對任意正整數n，都有a_(n+2)=a_(n+1) +a_n。
(2)因為a_1=1,a_2=1,根據a_n+a_(n+1)=a_(n+2),所以a_n每一項也是正整數.
   現假設一個正整數k,可令a_(k+1)及a_k有一個最大公因數d>1,因為a_(k+1)=a_(k+1)-a_k,
   所以可得a_(k-1)可被d整除,同理,可得a_(k-2),a_(k-3),....,a_1可被d整除
   但是a_1=1,d能整除1,矛盾,所以不存在一個正整數k令a_(k+1),a_k有一個最大公因數d>1,所以數列{a_n}中的每一項都是正整數，且任意相鄰兩項都互質

[ 本文章最後由 aeoexe 於 08-11-20 21:50 編輯 ]

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