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微分方程之定義 含有一個以上導數或微分之方程式，稱為微分方程 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------
微分方程的分類
微分方程分成常微分方程(ordinary differential equation，O.D.E)和偏微分方程(partial differential equation，P.D.E)
O.D.E:只有一個自變數，此自變數又稱獨立變數(independent varible)，並只含常導數(ordinary derivatives) 例: (dy/dx)-y=0，(1-cosθ)dr=r*sinθdθ，y'=xe^(y^2)
P.D.E:含有兩個以上的自變數並含有偏導數(partial derivatives) 例: 1.(∂u/∂x)+(∂u/∂y)=x^2+y^2
2.∂u/(∂x∂y) +x^2=y^2+z
微分方程的最高階導數的階數，稱為微分方程的階數(order) 例: 1.y'=-x/y (一階O.D.E)
2.(d²y/dx²)+(dy/dx)+10y=0 (二階O.D.E)
3.(y''')^2+(y'')^4+y'=0 (三階O.D.E)
4.(∂²u/∂x²)+(∂²u/∂y²)=x+y (二階P.D.E)
微分方程寫成導數型多項式，並且有有理化，其最高階導數的次數，稱為微分方程的次數 (degree) 例 1.xy'-3y=2 (一階一次O.D.E)
2.(y'')^3 +(y')^4 +2y=x^3 (二階三次O.D.E)
3.(∂²u/∂x²)+(∂²u/∂y²)=x+y (二階一次P.D.E)
4.(e^y''')-xy''+y=0 (三階O.D.E) 無次數
5.
(二階三次 P.D.E)
微分方程的各階導數的次數皆為一次方，且應變數y無與應變數y的導數之相乘，還有應變數沒在非線性函數中，則稱為線性(linear)微分方程 例 1.y'+2y^3 +3sinx=x^7 (非線性一階一次O.D.E) 2.5y''+6(e^x)sinx+y+7x=0 (線性二階一次O.D.E)
3.(∂u/∂x)+(∂u/∂y)+8x+cosy=u (非線性一階一次P.D.E)
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一階常微分方程
若y '=f(x,y)=g(x)*h(y),則可用”變數分離法解” 最後補個常數就好 例題： 1.Find the solution for (1-cosθ)dr=r*sinθdθ 2.Find the solution for y'=xe^(y^2) 不可積分可考慮做展開式後再積分 3.Find the solution for xy^4dx+(y^2+2)e^(-3x)dy=0 首先這題會用到分部積分法，設兩函數f(x)、g(x)為不同類型函數，例如:f(x)=x，g(x)=sinx
注意:速解在ln不適用
應用 1.Newton's cooling law states that the time rate of change in temperature of am object varies as the difference on temperature between object and surroundings.If an object cools from 80℃to 60℃ in 20 minutes,find the temperature in 40 minutes if the surroundings temperature is is 20℃. 牛頓冷卻定律：dT/dt=-k(T-20) ，其中k為正常數，想像當熱水放著不管會自動降溫
2.Falling body If we drop a stone,we can assume air resistance to negligible.Experiments show that under that assumption the acceleration y"=d²y/dt² of this motion is constant (equal to the so-called acceleration of gravity g=9.80m/sec²=32ft/sec²).State this as an ODE for y(t),the distance fallen as a function of time t.Solve the ODE to get the familiar law of free fall,y=gt²/2 重力加速度
y"=g= d²y/dt².....加速度 y'=gt+a.....速度 y=gt²/2+at+b.....移動距離 由初始速度為0得知，y'(0)=a=0 由初始距離沒動得知，y(0)=b=0 所以y=gt²/2
3.Decomposes rate Assuming that radium decomposes at a rate proportional to the amount present,in how many year will half the original amount be lose if 10% disappears in 263 years.
設鐳的總量為x， k為正常數 dx/dt=-kx (x^-1)dx/dt=-k x(t)=ce^(-kt)
263年後，有10%的衰變，剩90%的量 x(263)=ce^(-263k)=0.9*x(0)......(1) 又x(0)=c......(2)
(1)/(2)=>k≒4.01*10^-4
所以描述衰變的方程式為x(t)=x(0)*e^(-4.01*10^-4 *t)
要達到半衰期 x(t)=x(0)*e^(-4.01*10^-4 *t)=x(0)/2 t≒1730.23年 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ | 
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發表於 10-8-13 22:38:48
