鐵之狂傲

標題: 幾何挑戰1 [列印本頁]

作者: ‧幻星〞 時間: 07-8-3 09:04
標題: 幾何挑戰1
1.
直角三角形ABC中,∠B=90度
以AB、AC為邊向外做正方形ABDE、ACFG
延長BA交EG於H
求證：BC=2AH

2.
三角形ABC中，G為重心
M為平面上任一點
求證：MA^2+MB^2+MC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3GM^2

作者: ~冠~ 時間: 07-8-3 09:49
1.
連GB,CE.
易證三角形GBA(好玩耶囧) CEA全等.
所以ABG面積=ACE面積=ABE面積.
根據共邊定理,GH=HE.
延長AH至H'使得H'H=AH.
則GH'EA為平行四邊形.
So, GH'A=H'AE=90度.
所以2AH=H'A=BC
Q.E.D

2.直接把它放到座標平面上,然後再去設一些點即可,剩下請讀者自行證明XD
(路人:我看你分明是懶得寫下去了吧囧)

作者: turnX 時間: 07-8-8 07:52

原文由‧幻星〞 於 07-8-3 09:04 AM 發表
1.
直角三角形ABC中,∠B=90度
以AB、AC為邊向外做正方形ABDE、ACFG
延長BA交EG於H
求證：BC=2AH

2.
三角形ABC中，G為重心
M為平面上任一點
求證：MA^2+MB^2+MC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3GM^2 ...

答案推導如下圖

pic01

作者: ‧幻星〞 時間: 07-8-23 17:29
第二題提供一個純幾何做法

取AG中點K
AK=KG=GD

AP^2+BP^2+CP^2
=PA^2+2BD^2+2PD^2+PG^2-PG^2
=2PK^2+2KG^2+2BD^2+2PD^2-PG^2
=4KG^2+2KG^2+3PG^2+2BD^2
=2GD^2+2BD^2+AG^2+3PG^2
=BG^2+CG^2+AG^2+3PG^2

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