鐵之狂傲

標題: 挑戰59 [列印本頁]
作者: M.N.M.    時間: 06-10-1 14:30
標題: 挑戰59
1.已知一正整數的最左一位是8。將最左一位移到個位數，得一新
數。如果原數是新數的8倍，求原數的最小值?

2.
電腦的數字鍵盤都是
789
456
123

試證明
現在從任一不是5的數字開始
順轉或逆轉一圈
所得的數字一定被101整除

例:
12369874/101=122474
21478963/101=212663
89632147/101=887447
作者: 傲月光希    時間: 06-10-1 20:02
原文由 M.N.M. 於 06-10-1 02:30 PM 發表
1.已知一正整數的最左一位是8。將最左一位移到個位數，得一新
數。如果原數是新數的8倍，求原數的最小值?

設原數為8a1a2...an是個n位數的正整數，其中a1,a2,...,an屬於0~9的數

調換8後，其新數為a1a2...an8

根據題目可設成8a1a2...an=8*a1a2...an8

=> 8*(10^n)+a1a2...an=8*(10*a1a2...an+8)

=> 8*(10^n)+a1a2...an=80*a1a2...an+64

=> 79*a1a2...an=8*[(10^n)-8]

因為79是質數，所以我們可以得知8必為a1a2...an的倍數，寫做8|a1a2...an，設a1a2...an=8k，k是正整數

因此我們也可以知道79是(10^n)-8的倍數，其中(10^n)-8=999...92，9共有n-1個

=> 79*8k=8*999...92
=> 79k=999...92

接下來我們要來求k最小為多少，利用一般直式除法來算出至少要有幾個9的時候能夠把999...92給整除

(省略計算)我們算得當k=12658227848時，79k=999999999992

=>a1a2...an=8k=8*12658227848=101265822784

故原數最小值等於8a1a2...an=8101265822784

[ 本文最後由 傲月光希 於 06-10-1 08:05 PM 編輯 ]
作者: 神光    時間: 06-10-1 20:52
原文由 M.N.M. 於 06-10-1 02:30 PM 發表
1.已知一正整數的最左一位是8。將最左一位移到個位數，得一新
數。如果原數是新數的8倍，求原數的最小值?

設原數為S:8*10^n+P.
那麼新數是10*S-8*10^(n+1)+8

因為原數是新數的8倍,所以
8*[10*S-8*10^(n+1)+8]=S
79S=64*10^(n+1)-64

得出原數最小值是8101265822784
作者: ‧幻星〞    時間: 06-10-3 22:21
總覺得解法不太好..

先看順時針的..
其中一例
47896321
驗證一下可知為101的倍數
由於下一個則是將最前面的數字擺到最後一個去
79863214所以可以寫成
478963210-400000000+4=101的倍數-4(99999999)=101的倍數-4*990099*101=101的倍數
其他的同樣道理
所以順時繞的都是101的倍數

在看逆時的
96321478
驗證之後可知是101的倍數
63214789=963214780-900000000+9=101的倍數-9*99999999=101的倍數
其他同理
所以逆時的也都是101的倍數

總和兩點
可知不管怎麼繞都是101的倍數
作者: 神光    時間: 06-10-5 20:21
原文由 M.N.M. 於 06-10-1 02:30 PM 發表
2.
電腦的數字鍵盤都是
789
456
123

試證明
現在從任一不是5的數字開始
順轉或逆轉一圈
所得的數字一定被101整除

嘗試一下...

先討論順轉.
設S1:12369874是第一個數字.
已知S1=101k , k是某一個數字.
下一個數字,S2,是把其前一個數(S1)的最左面的數字放到最右面.即
S2:23698741. S2可表示為以下形式:10S1-1*10^8+1 ,
其中-1*10^8+1=-1*99999999(可以整除101),所以我們將-1*10^8+1表示為101p

即是,S2會等於10S1-101p=1010k-101p

S3:10S2-2*10^8+2=10100k-1010p-2(1*10^8+1)=10100k-1010p-2(101p)
S4:10S3-3*10^8+3 ...
如此類推,發現S1-S8都可以整除101.
逆轉時情況相同.故得證



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