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明天老師要考我們班一題~麻煩哪一位大大能幫我指點某個小迷津

若x,y屬於R  且 x^2+y^2=4,則3x+2y支最大值為2根號13

===>  求此時之數對(x,y)數對?

迷之問~~   -2根號13 ≦ 3x+2y ≦ 2根號13

             等號成立時  <=>  x/3=y/2=k     <=(就是這裡不懂)

             x=3k,y=2k 代入 3x+2y=2根號13
             最後就的到此數對了~~麻煩嚕  指示一下
 
數字和符號,在一次邂逅中,化成了天地間最美的藝術.探究過去預知未來.

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\アッカリ~ン/

原文由 大米龜 於 06-9-4 09:49 PM 發表
明天老師要考我們班一題~麻煩哪一位大大能幫我指點某個小迷津

若x,y屬於R  且 x^2+y^2=4,則3x+2y支最大值為2根號13

===>  求此時之數對(x,y)數對?

迷之問~~   -2根號13 ≦ 3x+2y ≦ 2根號13

             等號成立時  <=>  x/3=y/2=k     <=(就是這裡不懂)

             x=3k,y=2k 代入 3x+2y=2根號13
             最後就的到此數對了~~麻煩嚕  指示一下

柯西不等式(n=2)
有兩個向量u=(u1,u2),v=(v1,v2),則此兩向量必滿足((u1)^2+(u2)^2)((v1)^2+(v2)^2)≧(u1v1+u2v2)^2
=>(u^2)*(v^2)≧(u.v)^2=(∣u∣∣v∣cosθ)^2,其中θ式uv間的夾角,-1≦cosθ≦1

由你的題目知,(x^2+y^2)(3^2+2^2)≧(3x+2y)^2 (紅色是重點)
=>4*(9+4)≧(3x+2y)^2
=>52≧(3x+2y)^2
=>-2√13≦3x+2y≦2√13
=>最大值2√13

設向量u=(x,y),v=(3,2),當等號成立時u跟v互為平行向量,也就是說兩向量會相差0度或180度,且u跟v向量僅會相差一個倍數k(更正)
=>u=kv
=>(x,y)=k(3,2)=(3k,2k)
=>x=3k,y=2k
=>x/3=y/2=k(分量間也是相差k倍)
=>x=3k,y=2k
代入3x+2y
=>3(3k)+2(2k)=9k+4k=13k=2√13
=>k=2√13/13

有問題再跟我說

[ 本文最後由 *軍曹* 於 06-9-5 12:21 PM 編輯 ]
 
  

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幫你補充柯西不等式的證明(反正無聊= =)(謎:其實他是來賺文章數的)

有分高中跟大學兩種,高中我忘了(毆),我就用大學證法好了= =a

pf:
未命名.JPG


由附圖可以看到,u,v是兩根向量,而且u,v之間有夾一個角度
其中可以看到u-αv跟v是互相垂直的。因為我們只討論在實數座標系的柯西不等式,因此α是實數常數
1、
若v=O,則∣u∣∣v∣=∣u∣*0=0=u.O=u.v,得證(這裡O為零向量)
2、
若v≠O,則
0≦(u-αv).(u-αv)  (因為一根向量自己內積自己必大於等於0,自己內積自己就是那根向量的長度平方)
 =(u.u)-(u.αv)-(αv.u)+(α*α)(v.v)
 =(︱u︱^2)-(u.αv)-(u.αv)+(α^2)(∣v∣^2)
 =(∣u∣^2)-2α(u.v)+(α^2)(∣v∣^2)

α=(u.v)/(∣v∣^2) (為什麼?)

則0≦(∣u∣^2)-2[(u.v)/(∣v∣^2)](u.v)+{[(u.v)^2]/(∣v∣^4)}(∣v∣^2)
  =(∣u∣^2)-2[(u.v)^2]/(∣v∣^2)+[(u.v)^2]/(∣v∣^2)
  =(∣u∣^2)-[(u.v)^2]/(∣v∣^2)
=>∣u∣^2≧[(u.v)^2]/∣v∣^2
=>(∣u∣^2)(∣v∣^2)≧(u.v)^2
=>∣u∣∣v∣≧(u.v)......得證

接下來求α

由圖知道(u-αv).v=0
=>(u.v)-α(v.v)=0
=>(u.v)-α∣v∣^2=0
=>α∣v∣^2=u.v
=>α=(u.v)/(∣v∣^2)......得證

柯西不等式可以推廣到n維空間,而且不只是我們所認識的2維、3維的實數空間會有內積,連複數空間,或是我們自己所定出來的一個內積空間,都會符合柯西不等式

一個可內積的空間一定是一個向量空間,但是一個向量空間不一定是內積空間

所謂的內積空間(Inner Product Space)就是任何這個空間裡的向量間的內積都會有定義,而且滿足歐基里德內積(<,>=歐基里德內積),而且它滿足以下條件:
                      _____
(1)對所有的向量u,v在一內積空間,<u,v>=<v,u> (上面那條槓叫做"罷",就是共軛的意思)
(2)<u+v,w>=<u,w>+<v,w>
(3)<αu,v>=α<u,v>,對所有α為常數
(4)對所有內積空間裡的向量u,<u,u>=∥u∥^2≧0;而且<u,u>=0若且唯若u=O(若且為若=充要條件)(∥u∥就是u的norm,也就是u向量的長度)

這些等你大學線性代數會有詳細解說,這裡便不再多說

[ 本文最後由 傲月光希 於 06-9-5 12:25 PM 編輯 ]
 
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