無理方程

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M.N.M.

名望的英雄

電梯直達

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發表於 06-7-25 16:54:16 |只看該作者 |降序瀏覽大字中字小字正體化简体化

當未知數在根號中的方程式稱為無理方程或是根號方程

常用的解題的方法有：乘方法、配方法、因式分解法、設輔助元素法、利用比例性質法

等

乘方法

例:√(3x-3)+√(5x-19)+√(2x+8)=0

首先直接平方只會讓計算更複雜，所以要先移項

=>√(3x-3)+√(2x+8)=-√(5x-19)

兩邊平方並整理

=>√(3x-3)(2x+8)=12

再平方並整理

=>x^2+3x-28=0

=>x=4 or -7

配方法

例:4x^2+2x[√(3x^2+x)]+x-9=0

首先2x[√(3x^2+x)]

可看成2*x*√(3x^2+x)，可考慮湊成完全平方數

=>(3x^2+x)+2x√(3x^2+x)+x^2=9

=>{[√(3x^2+x)]+x}^2=9

=>[√(3x^2+x)]+x=3 or [√(3x^2+x)]+x=-3

若[√(3x^2+x)]+x=3

=>√(3x^2+x)=3-x

兩邊平方並整理

=>2x^2+7x-9=0

=>x=-(9/2) or 1

3-x>0，所以合

若[√(3x^2+x)]+x=-3

=>√(3x^2+x)=-3-x

兩邊平方並整理

=>2x^2-5x-9=0

=>x=(5±√97)/4

但-3-x<0，所以無解

所以原方程的解為x=-(9/2) or 1

設輔助元素法

例:√x+√(y-1)+√(z-2)=(1/2)(x+y+z)

=>x+y+z-2√x-2√(y-1)-2√(z-2)=0

=>[x-2√x+1]+[(y-1)-2√(y-1)+1]+[(z-2)-2√(z-2)+1]=0

=>[(√x)-1]^2+[√(y-1)-1]^2+[(√(z-2)-1]^2=0

由根號的非負數性質

=>√x=1，√(y-1)=1，√(z-2)=1

=>x=1，y=2，z=3

因式分解法

這類問題難度比較高

例:2[√(2x^2+14x)]-√(2x)+√(x+7)=13-3x

注意√(2x^2+14x)可拆成√(2x)*√(x+14)，3x=2x+[√(x+7)]^2-7

=>2x+2[√(2x^2+14x)]+x+7-[(√(2x)-√(x+7)]-20=0

=>[(√(2x)+√(x+7)]^2--[(√(2x)-√(x+7)]-20=0

十字交乘法

=>[(√(2x)+√(x+7)+4][(√(2x)+√(x+7)-5]=0

因為(√(2x)+√(x+7)+4>0

所以(√(2x)+√(x+7)-5=0

接下來解法同乘方法

=>x=2 or 162代入(√(2x)+√(x+7)-5=0

=>x=2

例:[√(x-1)(x-2)]=(√2)-[√(x-2)(x-3)]

=>[√(x-1)(x-2)]+[√(x-2)(x-3)]=√2

提出公因式

=>(√(x-2)[√(x-1)+√(x-3)]=√2

兩邊平方

=>(x-2)[2x-4+2√(x^2-4x+3)]=2

=>(x-2)[x-2+√(x^2-4x+3)]=1

=>x-2+√(x^2-4x+3)=1/(x-2)

左式的x-2移到右式並整理

=>√(x^2-4x+3)=(-x^2+4x-3)/(x-2)

=>(2-x)*√(x^2-4x+3)=x^2-4x+3

=>[(2-x)^2]*(x^2-4x+3)=(x^2-4x+3)^2

由原式得知x不等於2

當x^2-4x+3不為0，則無解

當x^2-4x+3=0

=>(x-3)(x-1)=0

=>x=3 or 1代入原式合

絕對值

例:√(x^4)+√(x^4-8x^2+16)=-x+3

=>√(x^4)+√[(x^2-4)^2]=-x+3

-x+3≧0=>3≧x

被開方式為完全平方式必須去根號要加絕對值

=>x^2+│x^2-4│=-x+3

(1)若x^2-4x≧0時，即x≧2 or -2≧x

x^2+x^2-4=-x+3

=>x=(-1±√57)/4(正不合

(2)若x^2-4<0，即-2<x<2

x^2-x^+4=-x+3

=>x=-1

由(1)(2)得 x=-1 or(-1-√57)/4

例:√[5+x-4√(x+1)]+√[10+x-6√(x+1))]=1

=>√[(x+1)-4√(x+1)+4]+√[(x+1)-6√(x+1)+9]=1

=>√[√(x+1)-2]^2+√[√(x+1)-3]^2=1

=>│√(x+1)-2│+│√(x+1)-3│=1

其中x+1≧0=>x≧-1

(1)當x≧8時，√(x+1)≧3

√(x+1)-2+√(x+1)-3=1

=>2√(x+1)=6

=>x=8

(2)當8>x≧3，3>√(x+1)≧2

√(x+1)-2-√(x+1)+3=1

=>1=1

所以8>x≧3

(3)當3>x≧-1時，2>√(x+1)≧0

-√(x+1)+2-√(x+1)+3=1

=>√(x+1)=2

=>x=3(不合

由(1)(2)(3)得 8≧x≧3

平方差

例:√(3x^2+5x+8)-√(3x^2+5x+1)=1

(1)當√(3x^2+5x+8)=√(3x^2+5x+1)

=>8=1

所以無解

(2)當√(3x^2+5x+8)不等於√(3x^2+5x+1)

√(3x^2+5x+8)-√(3x^2+5x+1)=1.......(1)

[√(3x^2+5x+8)-√(3x^2+5x+1)]*[√(3x^2+5x+8)+√(3x^2+5x+1)]=7......(2)

(2)/(1)=>√(3x^2+5x+8)+√(3x^2+5x+1)=7......(3)

(1)+(3)=>√(3x^2+5x+8)=4

=>x=1 or -(3/8)

例:√(3x^2-5x-12)-√(2x^2-11x+15)-x+3=0=>√(3x^2-5x-12)-√(2x^2-11x+15)=x-3

x-3≧0=>x≧3

(1)當√(3x^2-5x-12)=√(2x^2-11x+15)

=>x^2+6x-27=0

=>x=-9 or 3(-9不合)

(2)√(3x^2-5x-12)不等於√(2x^2-11x+15)

√(3x^2-5x-12)-√(2x^2-11x+15)=x-3......(1)

[√(3x^2-5x-12)]^2-[√(2x^2-11x+15)]^2=x^2+6x-27......(2)

(2)/(1)=√(3x^2-5x-12)+√(2x^2-11x+15)=x+9......(3)

(3)+(1)=>2√(3x^2-5x-12)=2x+6

=>x=7 or -(3/2)

合分比

例:[√(x+1)+√(x-1)]/[√(x+1)-√(x-1)]=(4x-1)/2

若分分母只有一些項的符號不同，則可用合分比定理化簡方程

=>[2√(x+1)]/[2√(x-1)]=(4x+1)/(4x-3)

=>(x+1)/(x-1)=(16x^2+8x+1)/(16x^2-24x+9)←(可再用合分比化簡)

=>x=5/4

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