鐵之狂傲

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高中數學問答1

[複製連結] 檢視: 1334|回覆: 3

發表於 06-10-12 22:32:36 |顯示全部樓層 大字 中字 小字 正體化 简体化
1.設x+y+z=5,x^2+y^2+z^2=9
求證x,y.z皆不小於1且不大於7/3。

2.試求經過圓x^2+y^2+2x-4y+1=0與直線2x-y+4=0之焦點且切於y軸之圓之方程式。

3.設B、C為線段AD之三等分點,P為直線AD外任一點,並令∠APB=α,∠BPC=β,∠CPD=γ,求證(cotα+cotβ)(cotβ+cotγ)=4csc²β。
 
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2.
應該是圓系
設通過圓C:x^2+y^2+dx+ey+f=0與直線L:ax+by+c=0之交點之圓系方程式為:
(x^2+y^2+dx+ey+f)+k(ax+by+c)=0,k為任意實數。
_____________________________________________________________
(x^2+y^2+2x-4y+1)+k(2x-y+4)=0

x=0 代入
(y^2-4y+1)+k(-y+4)=0

y^2-(4+k)y+(4k+1)=0
與y軸相切
因此判別式D=0
(-4-k)^2-4*1*(4k+1)=0
k^2+8k+16-16k-4=0
k^2-8k+12=0
k=6 or 2

k=6
x^2+y^2+2x-4y+1+12x-6y+24=0
x^2+y^2+14x-10y+25=0
(x+7)^2+(y-5)^2=49=7^2
中心(-7,5)半徑7
k=2
x^2+y^2+2x-4y+1+4x-2y+8=0
x^2+y^2+6x-6y+9=0
(x+3)^2+(y-3)^2=9=3^2
中心(-3,3)半徑3
修正答案
答案:
       1.  (x+3)^2+(y-3)^2=9=3^2
       2.  (x+7)^2+(y-5)^2=49=7^2
感謝提醒

[ 本文最後由 simy 於 06-10-22 09:11 PM 編輯 ]
 

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3.
(cotα+cotβ)/cscβ=[(cosα/sinα)+(cosβ/sinβ)] / (1/sinβ)=sin(α+β)/sinα

同理(cotβ+cotγ)/cscβ=sin(β+γ)/sinγ

延長PB,PC至T與T',使PB=PT、PC=CT',連接AT、DT'

∵AB=BC=CD,∠ABT=∠PBC,∠DCT'=∠PCB,PB=PT、PC=CT'

∴△ABT全等△CBP(SAS),△DCT'全等△PCB(SAS)

∴∠T=∠T'=∠BPC=β,∠TAP=pi-(α+β)

PT/sin[pi-(α+β)]=AT/sinα=PC/sinα(∵AT=PD)

∴sin(α+β)/sinα=PT/PC=2PB/PC

同理sin(β+γ)/sinγ=2PC/PB

∴(cotα+cotβ)(cotβ+cotγ)/csc²β=(2PB/PC)(2PC/PB)=4

=>(cotα+cotβ)(cotβ+cotγ)=4csc²β

故得證
 

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2.simy過程解出

答案還有(x^2)+(y^2)+14x-10y+25=0

3.M.N.M解出

1.
z=5-x-y代入x^2+y^2+z^2=9
=>x^2+y^2+25+x^2+y^2-10x-10y+2xy=0
=>(y^2)+(x-5)y+(x^2-5x+8)=0

因為y屬於實數=>D=(x-5)^2-4*(x^2-5x+8)≧0
=>(x^2)-10x+25-4(x^2)+20x-32≧0
=>-3(x^2)+10x-7≧0
=>(3x-7)(x-1)≦0
=>1≦x≦7/3

同理可證1≦y≦7/3,1≦z≦7/3
 

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