M.N.M. 發表於 06-2-19 17:17:16

國中數學解題原理

基本七大原理
代入法:
概念1.一個式子每一個實數x均成立,我們用特別數值代入其中亦成立(代值法又稱數值代入法)
概念2.學習公式,定義,應用它時,依題目之數字代入(代入法)
概念3.把一個成立的式子代入另一式子可消去變數或簡化問題(兼有消去的功用)
概念4.用未定係數法求各種圖形方程式時,常把已知之值代入,以列出未定數之方程式解之

配套法:
概念 題目需要什麼我們就配什麼!!
若x^2+x-2=0,則(x^2+x+4)^2+5(x^2+x+4)+2=?
這題需要x^2+x,所以將2移項配得x^2+x=2代入
這是一種配套法的運用


變形法:
概念1.繁雜的代數問題,如用置換法加以變形,常可式子變簡單,方程式變得容易解
概念2.比例式,設未知數加以變形,有時利用合分比變形
化簡2*(1/2+1/3+1/4+1/5)+4*(1/3+1/4+1/5)+6*(1/4+1/5)+8*1/5
原式=1/2*2+1/3*(2+4)+1/4*(2+4+6)+1/5*(2+4+6+8)
這就是變形法


轉化法:
概念1.代數題目,如轉化為幾何之後劃出圖形,可立即得到問題的答案
概念2.幾何題目,不好處理時,轉換為代數方法,利用(1)解方程式(2)判別式(3)二次方程式根與係數(4)代數之不等式...等可嚴密地解出題目
概念3.將生活上的問題轉化成圖形,再轉化成方程式或不等式

歸納法:
概念1.數學歸納法是把歸納法原理應用於證明,若將歸納法原理加以推廣應用於定義稱為遞迴定義法 (課內大概碰不到)
概念2.數學中之各單元在一問題之規則未明時,常常由基本的情形中去找尋規則這是數學之精神所在^.^

比較法:
概念1.比較法經常用於多項式求係數或列方程式
概念2.比較法也可用於幾何圖形的等價關係

逼近法:將符合題義的數一個一個代入式子求得符合題義的答案
122333444455555…
請問第1997個數是多少?
(1+n)*n/2≦1997
(1+n)*n≦3994
把3994用直式開方法開根號
可以得出63.XXXXXX
意思是63*63是最接近3994的平方數
62*63=3906
63*64=4032
所以是63
(以上是一般難度XD


以下是競賽所須知識
1、實數
十進制整數及表示方法。整除性,被2、3、4、5、7、8、9、11、13等數整除的判定。 質數(素數)和合數,最大公约(因)數與最小公倍數。
奇數和偶數,奇偶性分析。
帶餘除法和利用餘數分類。
完全平方數。
因數分解的表示法,因數個數的計算。
有理數的表示法,有理數四則運算的封閉性。

2、代數式
綜合除法、餘式定理。
拆項、添項、配方、待定係數法。
部分分式。
對稱式和輪換對稱式。

3、恆等式與恆等變形
恆等式,恆等變形。
整式、分式、根式的恆等變形。
恆等式的證明。

4、方程式和不等式
含字母係數的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分佈。
含絕對值的一元一次、二次方程的解法。
含字母係數的一元一次不等式的解法,一元一次不等式的解法。
含絕對值的一元一次不等式。
簡單的一次不定方程。
列方程(組)解應用題。

5、函數
y=|ax+b|,y=|ax^2+bx+c|及 y=ax^2+bx+c的圖像和性質。
二次函數在给定區間上的最值。簡單分式函數的最值,含字母係數的二次函數。

6、邏輯推理問題
抽屜原則(概念),分割圖形造抽屜、按同餘類造抽屜、利用染色造抽屜。
簡單的組合問題。
邏輯推理問題,反證法。
簡單的極端原理。
簡單的枚舉法。

7、幾何
四種命題及其關係。
三角形的不等關係。同一個三角形中的邊角不等關係,不同三角形中的邊角不等關係。
面積及等積變換。
三角形的心(内心、外心、垂心、重心)及其性質。

大陸中學問題的常用解法
[ 作者:佚名 轉貼自:http://www.mathssky.com ]

數學的解題方法是隨著對數學物件的研究的深入而發展起來的。教師鑽研習題、精通解題方法,可以促進教師進一步熟練地掌握中學數學教材,練好解題的基本功,提高解題技巧,積累教學資料,提高業務水平和教學能力。

下面介紹的解題方法,都是初中數學中最常用的,有些方法也是中學教學大綱要求掌握的。

1、配方法

所謂配方,就是把一個解析式利用恒等變形的方法,把其中的某些項配成一個或幾個多項式正整數次冪的和形式。通過配方解決數學問題的方法叫配方法。其中,用的最多的是配成完全平方式。配方法是數學中一種重要的恒等變形的方法,它的應用十分非常廣泛,在因式分解、化簡根式、解方程、證明等式和不等式、求函數的極值和解析式等方面都經常用到它。

2、因式分解法

因式分解,就是把一個多項式化成幾個整式乘積的形式。因式分解是恒等變形的基礎,它作爲數學的一個有力工具、一種數學方法在代數、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。因式分解的方法有許多,除中學課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外,還有如利用拆項添項、求根分解、換元、待定係數等等。

3、換元法

換元法是數學中一個非常重要而且應用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數或變數稱爲元,所謂換元法,就是在一個比較複雜的數學式子中,用新的變元去代替原式的一個部分或改造原來的式子,使它簡化,使問題易於解決。

4、判別式法與韋達定理

一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c屬於R,a≠0)根的判別,△=b2-4ac,不僅用來判定根的性質,而且作爲一種解題方法,在代數式變形,解方程(組),解不等式,研究函數乃至幾何、三角運算中都有非常廣泛的應用。

韋達定理除了已知一元二次方程的一個根,求另一根;已知兩個數的和與積,求這兩個數等簡單應用外,還可以求根的對稱函數,計論二次方程根的符號,解對稱方程組,以及解一些有關二次曲線的問題等,都有非常廣泛的應用。

5、待定係數法

在解數學問題時,若先判斷所求的結果具有某種確定的形式,其中含有某些待定的係數,而後根據題設條件列出關於待定係數的等式,最後解出這些待定係數的值或找到這些待定係數間的某種關係,從而解答數學問題,這種解題方法稱爲待定係數法。它是中學數學中常用的方法之一。

6、構造法

在解題時,我們常常會採用這樣的方法,通過對條件和結論的分析,構造輔助元素,它可以是一個圖形、一個方程(組)、一個等式、一個函數、一個等價命題等,架起一座連接條件和結論的橋梁,從而使問題得以解決,這種解題的數學方法,我們稱爲構造法。運用構造法解題,可以使代數、三角、幾何等各種數學知識互相滲透,有利於問題的解決。

7、反證法

反證法是一種間接證法,它是先提出一個與命題的結論相反的假設,然後,從這個假設出發,經過正確的推理,導致矛盾,從而否定相反的假設,達到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分爲歸謬反證法(結論的反面只有一種)與窮舉反證法(結論的反面不只一種)。用反證法證明一個命題的步驟,大體上分爲:(1)反設;(2)歸謬;(3)結論。

反設是反證法的基礎,爲了正確地作出反設,掌握一些常用的互爲否定的表述形式是有必要的,例如:是/不是;存在/不存在;平行于/不平行於;垂直于/不垂直於;等於/不等於;大(小)於/不大(小)於;都是/不都是;至少有一個/一個也沒有;至少有n個/至多有(n一1)個;至多有一個/至少有兩個;唯一/至少有兩個。

歸謬是反證法的關鍵,導出矛盾的過程沒有固定的模式,但必須從反設出發,否則推導將成爲無源之水,無本之木。推理必須嚴謹。導出的矛盾有如下幾種類型:與已知條件矛盾;與已知的公理、定義、定理、公式矛盾;與反設矛盾;自相矛盾。

8、面積法

平面幾何中講的面積公式以及由面積公式推出的與面積計算有關的性質定理,不僅可用於計算面積,而且用它來證明平面幾何題有時會收到事半功倍的效果。運用面積關係來證明或計算平面幾何題的方法,稱爲面積方法,它是幾何中的一種常用方法。

用歸納法或分析法證明平面幾何題,其困難在添置輔助線。面積法的特點是把已知和未知各量用面積公式聯繫起來,通過運算達到求證的結果。所以用面積法來解幾何題,幾何元素之間關係變成數量之間的關係,只需要計算,有時可以不添置補助線,即使需要添置輔助線,也很容易考慮到。

9、幾何變換法

在數學問題的研究中,常常運用變換法,把複雜性問題轉化爲簡單性的問題而得到解決。所謂變換是一個集合的任一元素到同一集合的元素的一個一一映射。中學數學中所涉及的變換主要是初等變換。有一些看來很難甚至於無法下手的習題,可以借助幾何變換法,化繁爲簡,化難爲易。另一方面,也可將變換的觀點滲透到中學數學教學中。將圖形從相等靜止條件下的研究和運動中的研究結合起來,有利於對圖形本質的認識。

幾何變換包括:(1)平移;(2)旋轉;(3)對稱。

10.客觀性題的解題方法

選擇題是給出條件和結論,要求根據一定的關係找出正確答案的一類題型。選擇題的題型構思精巧,形式靈活,可以比較全面地考察學生的基礎知識和基本技能,從而增大了試卷的容量和知識覆蓋面。

填空題是標準化考試的重要題型之一,它同選擇題一樣具有考查目標明確,知識複蓋面廣,評卷準確迅速,有利於考查學生的分析判斷能力和計算能力等優點,不同的是填空題未給出答案,可以防止學生猜估答案的情況。

要想迅速、正確地解選擇題、填空題,除了具有準確的計算、嚴密的推理外,還要有解選擇題、填空題的方法與技巧。下面通過實例介紹常用方法。

(1)直接推演法:直接從命題給出的條件出發,運用概念、公式、定理等進行推理或運算,得出結論,選擇正確答案,這就是傳統的解題方法,這種解法叫直接推演法。

(2)驗證法:由題設找出合適的驗證條件,再通過驗證,找出正確答案,亦可將供選擇的答案代入條件中去驗證,找出正確答案,此法稱爲驗證法(也稱代入法)。當遇到定量命題時,常用此法。

(3)特殊元素法:用合適的特殊元素(如數或圖形)代入題設條件或結論中去,從而獲得解答。這種方法叫特殊元素法。

(4)排除、篩選法:對於正確答案有且只有一個的選擇題,根據數學知識或推理、演算,把不正確的結論排除,餘下的結論再經篩選,從而作出正確的結論的解法叫排除、篩選法。

(5)圖解法:借助於符合題設條件的圖形或圖像的性質、特點來判斷,作出正確的選擇稱爲圖解法。圖解法是解選擇題常用方法之一。

(6)分析法:直接通過對選擇題的條件和結論,作詳盡的分析、歸納和判斷,從而選出正確的結果,稱爲分析法。

小PK 發表於 06-9-17 16:23:55

關於(3)換元法可以出例題嗎

M.N.M. 發表於 06-9-17 16:59:41

換元法

例:因式分解(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24

原式=(x+1)(x+4)(x+2)(x+3)-24
=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)-24

將多項式變簡單化才不容易出錯,這是換元法最大的用途

設x^2+5x+5=y

則原式=(y-1)(y+1)-24
=y^2-25
=(y+5)(y-5)
=(x^2+5x+10)(x^2+5x)
=x(x^2+5x10)(x+5)
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